В поисках бесконечности - [43]

Рис. 24

Однако путем выбрасывания можно получить и "фигуры", не состоящие из одного куска. Например, если удалять "кресты"[75], как на рис. 24, то получится в конце концов множество, не содержащее ни одного целого куска (как говорят, вполне несвязное). Поэтому мы введем ограничение, что после каждого выбрасывания должно оставаться множество, состоящее из одного куска. Тогда и после всех выбрасываний останется множество из одного куска (то есть, как говорят математики, связное). Кроме того, получающееся множество ограничено, то есть целиком лежит в некотором квадрате.

Итак, рассматриваемые множества удовлетворяют следующим условиям:

   1. множество F получается из квадрата выбрасыванием счетного множества кругов с оставлением их границ, то есть замкнуто;

   2. множество F состоит из одного куска, то есть связно.

Эти множества Кантор и назвал континуумами (напомним, что латинское слово continuum означает непрерывный). Континуумы и оказались наиболее общими множествами, свойства которых очень близки к свойствам обычных геометрических фигур.

Канторовы линии.

Теперь мы уже готовы ответить на вопрос, что же такое плоская линия. Так как плоские линии должны быть геометрическими фигурами, то ясно, что искать их надо среди континуумов. Но континуумами являются и круг, и квадрат, а эти фигуры никак не назовешь линиями. Поэтому надо добавить еще какое-то условие, которое отмело бы такие фигуры.

Заметим, что и круг, и квадрат содержат "сплошные" куски плоскости. А линии сплошных кусков плоскости не содержат; какой бы маленький квадратик мы ни взяли, всегда на нем найдутся точки, не принадлежащие линии (рис. 25). Вот это и является нужным нам дополнительным условием: плоской линией в смысле Кантора называют лежащий на плоскости континуум, не заполняющий ни одного сплошного куска плоскости (то есть такой, что в каждом квадрате есть точки, не принадлежащие этой линии).

Рис. 25

Например, отрезок, контур треугольника, окружность, четырехлепестковая роза — все это линии. Линией является и ковер Серпинского. Так как при его построении мы продырявили все квадраты, получавшиеся при делении, то ни одного целого куска плоскости он не содержит. Канторовой линией является и окружность вместе с намотанной на нее спиралью, и пилообразная линия на рис. 26 вместе с отрезком [0, 1] оси ординат. Вообще все фигуры, являющиеся линиями в наглядном, наивном понимании, являются линиями и в смысле Кантора. А фигуры, содержащие хоть один целый кусок плоскости, не относятся к числу канторовых линий.

Рис. 26

Но и среди канторовых линий есть такие, что их свойства совершенно непохожи на свойства обычных линий. Сейчас мы расскажем о некоторых таких линиях.

Всегда ли площадь линии равна нулю?

Конечно, после того как читатель познакомился с линиями, проходящими через все точки квадрата, он может ожидать чего угодно. Но все же, может ли линия иметь площадь? Ведь еще Евклид говорил, что линия — это длина без ширины. А там, где нет ширины, нет, казалось бы, и площади. Да и в определении канторовой линии сказано, что она не содержит ни одного целого куска плоскости. Откуда же в этом случае взяться площади? Но мы уже много раз видели, что применение бесконечных процессов приводит к совсем неожиданным результатам.

Прежде чем исследовать вопрос, надо договориться о точном смысле употребляемых слов. Что значат слова "линия имеет нулевую площадь" или "линия имеет ненулевую площадь"? Возьмем самую обычную линию — прямолинейный отрезок. Так как его ширина равна нулю, то отрезок можно поместить внутрь прямоугольника сколь угодно малой площади, нужно лишь выбрать ширину этого прямоугольника достаточно малой. Точно так же и окружность можно поместить внутрь многоугольника со сколь угодно малой площадью. Для этого достаточно вписать в нее правильный многоугольник с очень большим числом сторон и описать аналогичный многоугольник. Область, заключенная между этими двумя многоугольниками, будет иметь малую площадь (тем меньшую, чем больше сторон у наших многоугольников), а окружность целиком лежит в этой области (рис. 27).

Рис. 27

Теперь уже ясно, что означают слова линия имеет нулевую площадь. Они значат, что, какое бы маленькое положительное число ε мы ни взяли, найдется многоугольная область, содержащая линию и такая, что площадь области меньше, чем ε. А если хоть для одного положительного ε такой области не удастся найти, тогда площадь линии не равна нулю.

Применим теперь это определение не к таким простым линиям, как отрезок или окружность, а к более сложным, например к ковру Серпинского. Простой подсчет показывает, что после n выбрасываний остается фигура, площадь которой равна (⁸/₉)ⁿ. Но ⁸/₉ — правильная дробь, а при возведении такой дроби в степень с увеличением показателя результат уменьшается и стремится к нулю. Это означает, что для любого ε>0 после достаточно большого числа шагов получится многоугольная область, площадь которой меньше, чем ε. А эта область целиком накрывает ковер Серпинского. Выходит, площадь ковра Серпинского равна нулю.

Рис. 28

Казалось бы, полный триумф определения Евклида. Даже у такой сложной линии, как ковер Серпинского, площадь равна нулю. Но праздновать победу преждевременно. Ведь никто не заставлял нас выбрасывать такие большие куски. На рис. 28 изображен более экономный способ выбрасывания квадратиков. Подбирая должным образом их размеры, можно добиться того, чтобы общая площадь выброшенных фигур не превышала