В поисках бесконечности - [46]
После создания понятия меры Лебега оказалось, что для нее нет никаких осложнений, причем по Лебегу можно измерить все встретившиеся до того в науке множества. Позднее были построены примеры неизмеримых множеств, но они используют так называемую аксиому выбора, о которой будет идти речь ниже. Построенные с ее помощью примеры не являются конструктивными. Поэтому можно сказать, что Лебег решил проблему измерения всех множеств, которые могут встретиться в практической работе математиков.
С помощью введенного им понятия меры Лебег сумел найти интегралы всех разрывных функций, которые можно было построить известными в то время методами (интеграл Лебега).
Триумф идей Лебега привел к тому, что даже один из вождей математиков-классиков Гастон Дарбу[79] изменил свое мнение и, выступая в 1908 г. на Математическом конгрессе в Риме, говорил о пламенном и пытливом духе математики XX в., о науке, ведущей свои изыскания в абсолютно новой области с неизведанными перспективами. Он подчеркнул, что наука XX в. не боится атаковать основы построений, которые столь долго казались непоколебимыми.
Позднее идеи, приведшие к созданию меры и интеграла Лебега, позволили А. Н. Колмогорову построить аксиоматику теории вероятностей, а Норберту Винеру — определить понятия меры и интеграла для пространств, состоящих из функций. Всюду, куда проникали идеи меры, использовались конструкции и теоремы, восходящие к Лебегу. После упомянутых выше работ А. Н. Колмогорова эти идеи стали широко использоваться в теории вероятностей и ее приложениях, в частности в статистической физике. Применялись они и при изучении динамических систем. А уж о теоретической математике не приходится и говорить — без интеграла Лебега многие ее важнейшие результаты невозможно даже и сформулировать. Недаром в гимне "Лузитании" — группы молодых советских математиков, посвятивших себя в 20-е годы изучению новейшей теории функций, пелось: "Наш бог — Лебег, Кумир наш — интеграл". Но о "Лузитании" названной в честь общего учнтеля этих математиков, основателя русской школы теории функций действительного переменного Николая Николаевича Лузина, надо сказать подробнее — ее роль в изучении математических проблем, связанных с бесконечными множествами, трудно переоценить.
"Лузитания".
После описанных выше работ, приведших к созданию новой теории функций, интерес к этой теории необычайно возрос во всем мире. В Геттингене Д. Гильберт и его ученики применяли новое понятие интеграла для изучения круга вопросов, связанных с так называемыми интегральными уравнениями, ряд интереснейших теорем доказали итальянские математики.
В XIX в. общепризнанным центром русской науки был Петербург, где в стенах Петербургской академии наук свято хранили традиции Эйлера и Д. Бернулли, где трудились замечательные русские математики М. В. Остроградский[80] и П. Л. Чебышев[81], А. А. Марков[82] и А. М. Ляпунов[83], В. А. Стеклов[84] и А. Н. Коркин[85]. Всех их объединяла искренняя любовь к исследованиям в области математического анализа и его приложений, к решению трудных конкретных проблем математики. А вот новомодные исследования по теории множеств и теории разрывных функций никакого отклика в их сердцах не находили. Слишком далекими казались им эти исследования от тех задач, которыми они занимались (хотя впоследствии полученные на этих новомодных путях результаты оказались полезными как раз во многих традиционных областях математики).
Иначе сложилось дело в древней столице России. Здесь в стенах прославленного Московского университета уже в начале XX в. стали читаться курсы по теории множеств, а в 1907 г. московский ученый И. И. Жегалкин[86] защитил магистерскую диссертацию по трансфинитным числам. Внимание этому кругу вопросов уделил и один из крупнейших московских математиков того времени Д. Ф. Егоров[87], хотя основным делом его жизни были исследования по дифференциальной геометрии. Ему удалось доказать теорему о сходимости рядов, которая стала одним из важнейших орудий во всех исследованиях по теории функций. По самое главное было в том, что он привлек к этим исследованиям своих молодых учеников и в том числе начинавшего в те годы свою научную карьеру Н. Н. Лузина.
В это время многие ученые пытались понять, как связаны "дикие" функции, открытые Дирихле и Риманом, Борелем и Лебегом, с функциями, которыми занимались предшествующие поколения ученых. Лузин доказал, что путем "исправления" разрывной функции на множестве сколь угодно малой меры из нее можно получить непрерывную функцию. А непрерывную функцию можно с любой степенью точности приблизить многочленом. Тем самым наиболее запутанно устроенные функции в некотором смысле слова сводились к наиболее изученным — многочленам.
Одновременно с этим Лузин изучал проблемы, связанные с тригонометрическими рядами,- вопросом, который традиционно интересовал специалистов по теории функций действительного переменного еще со времен самых первых работ Кантора. Здесь он также доказал ряд интереснейших теорем, выявивших тонкие механизмы, управляющие сходимостью таких рядов. Эти и многие другие доказанные Лузиным теоремы легли в основу представленной им на соискание ученой степени магистра чистой математики диссертации "Интеграл и тригонометрический ряд". Научные достоинства этой диссертации были настолько высоки, что, несмотря на сопротивление некоторых математиков классического направления, ему была присуждена сразу ученая степень доктора чистой математики — случай, весьма редкий в практике русских университетов.
