Успенский пишет о Колмогорове - [8]
В контрасте с этой концепцией, интуиционистский математический мир принципиально незавершён, он развивается в результате творческой активности субъекта. Образно говоря, акт Творения математического мира передан от Бога к человеку, точнее к идеализированному человеческому существу, живущему и творящему во времени. От активности и умений такого творческого субъекта и зависит характер соответствующего математического мира. Что же в таком случае выражает интуиционистская логика, эта своего рода конституция интуиционистской математики? Предложенная Колмогоровым концепция исходит из того, что объектами интуиционистской математики, а, следовательно, и логики являются не абсолютные истины (как в традиционном случае), а задачи (проблемы). Логические операторы формируют новые проблемы из уже поставленных, а сами формулы интуиционистской логики выражают умение решить те или иные составные задачи. Таким образом, интуиционистская логика оказывается логикой умений. Закон исключённого третьего теряет при таком подходе свой универсальный характер. Принятие его означало бы постулирование умения решить в каждый момент времени любую задачу, что вряд ли убедительно. Интересной стороной интерпретации Колмогорова является её нейтральность: интуиционистская логика может теперь быть объяснена исследователю, не понимающему сложной философии интуиционизма или просто не заинтересованному в ней. Интуиционистская логика в какой-то мере теряет свой «религиозный», эзотерический характер и становится заманчивым объектом исследования для «обыкновенного» математика. Мне кажется, что значительный прогресс в изучении интуиционистской логики, достигнутый в послевоенные годы (и открывший, помимо прочего, дорогу к практическим её применениям в информатике), в большой степени обязан этому новому подходу, восходящему к Колмогорову.
Исследования Колмогорова по интерпретации интуиционистской логики развивались параллельно с усилиями выдающего голландского логика, ученика и последователя Брауэра А. Гейтинга. Многие идеи этих учёных оказались очень близкими. Однако в логической литературе до недавнего времени имя Колмогорова в этой связи почти не упоминалось. Мне кажется очень важным, что, восстанавливая историческую справедливость, два выдающихся представителя голландской школы, ученики Гейтинга Д. ван Дален и А. Трулстра в своей недавней великолепной двухтомной монографии [13] ввели в употребление термин «интерпретация Брауэра-Гейтинга-Колмогорова». С именем Трулстры связана и недавняя публикация писем Колмогорова Гейтингу ([14–15]). Письма эти были обнаружены Трулстрой в архивах А. Гейтинга. Профессор Трулстра, с которым я состоял в течение ряда лет в дружеской переписке, любезно прислал мне копии этих бесценных исторических документов, относящихся к началу 30-х годов. Естественно, было бы крайне интересно найти письма Гейтинга к Колмогорову в бумагах последнего. К сожалению, если я не ошибаюсь, это оказалось невозможным. Тем временем В.А. Успенский предложил опубликовать русские переводы писем Колмогорова (оригиналы написаны на немецком и французском языках) в Успехах Математических Наук, что и было сделано с любезного согласия профессора Трулстры. Корреспонденция между Колмогоровым и Гейтингом, даже доступная только частично, проливает новый свет на раннюю историю интуиционизма и на личности обоих выдающихся учёных.
Как это случилось и с работой 1925 года, новая работа Колмогорова по интуиционистской логике осталась малоизвестной. По-видимому, Клини не знал об этой работе, когда он писал свою знаменитую статью о реализуемости [16]. Семантика реализуемости, оказавшаяся столь плодотворной, перекликается с ранними идеями Колмогорова из [10].
Вообще есть какая-то тайна в судьбе этих двух работ. Несмотря на всемирную репутацию их автора, они остались практически неизвестными за пределами России. Как уже говорилось, многие результаты были переоткрыты другими исследователями. Даже и сейчас, как я мог убедиться после своего переезда в США, значение и само существование этих работ неизвестно многим первоклассным экспертам на Западе. Можно надеяться, что статья Успенского, опубликованная по-английски и в одном из самых читаемых логических журналов, поможет исправить эту достойную сожаления ситуацию[xviii].
5. Дальнейшая часть обзора Успенского посвящена трудам Колмогорова по общей теории алгоритмов и алгоритмическим основаниям теории вероятностей. Следует сказать, что В.А. Успенский принял самое живое участие в этой деятельности А.Н. Колмогорова. Широко известная ныне общая концепция алгоритма, задуманная Колмогоровым и реализованная им совместно с Успенским, по-видимому даёт наиболее общее точное описание интуитивных алгоритмов. Алгоритмы, подпадающие под эту концепцию, обычно называют алгоритмами Колмогорова-Успенского. Я специально подчёркиваю это обстоятельство, не отмеченное В.А. по понятным причинам. Определение Колмогорова-Успенского оказалось очень плодотворным, как с точки зрения приложений (теория сложности), так и с точки зрения оснований математики. Если в других классических точных определениях (машина Тьюринга, рекурсивные функции, нормальные алгорифмы Маркова и т.д.) ставилась задача воспроизвести работу любого интуитивного математического алгоритма посредством некоторого алгоритма из данного точного класса (возможность всегда достичь этой цели и провозглашалась Тезисом Чёрча, тезисом Тьюринга, принципом нормализации и т.д.), то определение Колмогорова-Успенского пытается непосредственно представить наиболее общие мыслимые математические алгоритмы. Анализ природы финитарных процессов, приводящий к упомянутому определению, представляет большой методологический интерес. Некоторые авторы полагают даже, что этот анализ доставляет легитимное доказательство Тезиса Чёрча (см. интересную работу Мендельсона
Воспоминания посвящены выдающемуся математику Маркову Андрею Андреевичу младшему (1903, Санкт-Петербург — 11 октября 1979, Москва).Мы, ученики Андрея Андреевича, просто обязаны написать о нём, о нашем времени. Пока помним, сколько помним. Пока живём. В меру своих сил я пробую сделать это. Эти строки посвящаются памяти моего Учителя и памяти трёх его учеников и последователей, дорогих друзей и коллег, безвременно ушедших из жизни. Вот их имена: Сергей Юрьевич Маслов (10 июня 1939 г. — 29 июля 1982 г.), Освальд Демут (Oswald Demuth) (9 декабря 1936 г.
В декабре 1971 года не стало Александра Трифоновича Твардовского. Вскоре после смерти друга Виктор Платонович Некрасов написал о нем воспоминания.
Автор — полковник Красной армии (1936). 11 марта 1938 был арестован органами НКВД по обвинению в участии в «антисоветском военном заговоре»; содержался в Ашхабадском управлении НКВД, где подвергался пыткам, виновным себя не признал. 5 сентября 1939 освобождён, реабилитирован, но не вернулся на значимую руководящую работу, а в декабре 1939 был назначен начальником санатория «Аэрофлота» в Ялте. В ноябре 1941, после занятия Ялты немецкими войсками, явился в форме полковника ВВС Красной армии в немецкую комендатуру и заявил о стремлении бороться с большевиками.
Выдающийся русский поэт Юрий Поликарпович Кузнецов был большим другом газеты «Литературная Россия». В память о нём редакция «ЛР» выпускает эту книгу.
«Как раз у дверей дома мы встречаем двух сестер, которые входят с видом скорее спокойным, чем грустным. Я вижу двух красавиц, которые меня удивляют, но более всего меня поражает одна из них, которая делает мне реверанс:– Это г-н шевалье Де Сейигальт?– Да, мадемуазель, очень огорчен вашим несчастьем.– Не окажете ли честь снова подняться к нам?– У меня неотложное дело…».
«Я увидел на холме в пятидесяти шагах от меня пастуха, сопровождавшего стадо из десяти-двенадцати овец, и обратился к нему, чтобы узнать интересующие меня сведения. Я спросил у него, как называется эта деревня, и он ответил, что я нахожусь в Валь-де-Пьядене, что меня удивило из-за длины пути, который я проделал. Я спроси, как зовут хозяев пяти-шести домов, видневшихся вблизи, и обнаружил, что все те, кого он мне назвал, мне знакомы, но я не могу к ним зайти, чтобы не навлечь на них своим появлением неприятности.
Изучение истории телевидения показывает, что важнейшие идеи и открытия, составляющие основу современной телевизионной техники, принадлежат представителям нашей великой Родины. Первое место среди них занимает талантливый русский ученый Борис Львович Розинг, положивший своими работами начало развитию электронного телевидения. В основе его лежит идея использования безынерционного электронного луча для развертки изображений, выдвинутая ученым более 50 лет назад, когда сама электроника была еще в зачаточном состоянии.Выдающаяся роль Б.