можно узнать, что Колмогоров был инициатором этих великолепно выполненных переводов (в то время я ещё пребывал в блаженном неведении трудностей, с которыми сталкивается переводчик подобных работ, особенно в случае автора со столь ярким литературным талантом, как Г. Вейль). Тогда же я прочёл и две ранние работы (1925 и 1932 года, [9–10]) Колмогорова, посвящённые интуиционистской логике. Содержание этих работ детально охарактеризовано в обзорной статье Успенского
[1]. Трудно удержаться от изумления, думая о работе 1925 года. Написанная 22-летним студентом, работа эта отличается огромной зрелостью и намного лет опережает современный юному автору уровень науки. В работе ясно чувствуется творческий почерк колмогоровского таланта: постановка проблем, глубоко мотивированных философски, огромная мощь в разработке необходимого концептуального и технического аппарата, в преодолении конкретных математическиз трудностей. Достаточно сказать, что в этой студенческой публикации впервые предпринято математическое изучение интуиционистской логики, сформулированы аксиоматические системы для этой логики, предвосхищающие гораздо более позднюю аксиоматизацию интуиционистской математики, выполненную А. Гейтингом. Здесь же по существу (с точностью до технических деталей) впервые построено так называемое минимальное исчисление, переоткрытое в 1937 году Иохансоном (которому принадлежит и сам термин). Ещё более важной представляется мне изобретённая Колмогоровым идея погружения классической математики в интуиционистскую, в результате чего становится возможным доказательство непротиворечивости классической математики относительно интуиционистской. С этой целью предложена и первая из известных ныне погружаюших операций, основанная на глубоком проникновении в природу математического оперирования с отрицанием. Сама идея о том, что интуиционистская математика только по видимости уже классической могла быть высказана в то время только пророком. Только в 1933 году эти идеи были переоткрыты К. Гёделем. Вся описанная только что проблематика подсказана глубокими философскими проблемами, связанными с законом исключённого третьего. После критики Брауэра сомнительность этого логического принципа в применении к бесконечным совокупностям ощущалась рядом математических мыслителей, в частности Д. Гильбертом и Г. Вейлем. Не чужды были эти сомнения и Колмогорову. Во всяком случае, 22-летний студент (в отличие от многих своих старших коллег) ясно ощущал вызов, заключённый в вопросе: почему сомнительность или даже незаконность неограниченного употребления принципа исключённого третьего так долго оставалась незамеченной и почему такое неограниченное употребление не приводит к противоречиям
[xiv].
А.А. Марков и Б.А. Кушнер, Москва, 1979 год
Ответ Колмогорова на этот вызов вкратце состоит в следующем. Во-первых, употребление закона исключённого третьего вполне оправдано в случае конечных совокупностей, т.е. в области финитарных суждений. Во-вторых, имеет место гораздо более сильное обстоятельство: если бы противоречие было найдено в классической теории, свободно оперируюшей с принципом исключённого третьего, то противоречие существовало бы и в одноимённой интуиционистской теории, в которой использование этого принципа ограничено только безопасными финитными случаями. Иными словами, принцип исключённого третьего не добавляет новых противоречий. И если в первом положении чувствуется заметное влияние Гильберта, то вторая идея (погружения классической математики в интуиционистскую) представляется ошеломляюще новой. Техническим аппаратом для реализации такого погружения оказывается концепция формализации математических теорий, разработанная Гильбертом, и идея погружающей операции, открытая Колмогоровым. Помимо оправдания употребления закона исключённого третьего (важнейшего математического орудия с самых древних времён) подход Колмогорова доставляет, очевидно, и определённое обоснование нашей замечательной, но, как и всё замечательное, не вполне безопасной способности оперировать с актуальной бесконечностью. Классическая математика с её актуально бесконечными множествами погружается в математический мир, где бесконечность допускается лишь в своей гораздо более мягкой, потенциальной форме.
В 1974 году А.Г. Драгалина[xv] и меня попросили написать статью об интуиционизме для третьего издания Большой Советской Энциклопедии. Статья ([11]) была направлена на отзыв Колмогорову. Когда я увидел рукопись с колмогоровскими замечаниями, я ещё раз поразился свежести его восприятия математической и философской области, которую он оставил столько лет назад...
Небезынтересен вопрос, почему молодой студент вообще заинтересовался такими окраинными вопросами, по видимости далёкими от интересов окружавшей его математической среды. Конечно, нельзя исключать огромного влияния Д. Гильберта и острой дискуссии по основаниям математики, развернувшейся между ним и лидером интуиционистов Брауэром. Но и сделанное выше замечание о математической среде, окружавшей молодого Колмогорова тоже глубоко неверно! В силу совпадения ряда разнородных причин проблемы оснований математики и, в частности, интуиционистской математики часто и горячо дискутировались в Москве в 20-е годы (ср. цитировавшиеся выше воспоминания Юшкевича
