Урожаи и посевы - [15]

10. Новая геометрия, или союз числа и величины

Но вот я опять сбился: я ведь предполагал рассказать о главных темах, собравшихся в одно материнское видение — как реки, дочери моря, возвращаясь, все текут к нему…

Это широкое объединяющее видение может быть описано как новая геометрия. Именно о ней, думается, грезил еще Кронекер в прошлом столетии[35]. Но действительность (дерзкая мечта может иногда предчувствовать ее или предвидеть, побуждая нас к открытию) неизменно превосходит, богатством красок, густотой и силой звучания, мечту самую смелую и самую глубокую. Заведомо в этой новой геометрии есть не один такой раздел (если не все сразу), о каком накануне его создания никто не мог и помыслить, менее всего сам работник.

Можно сказать, что «число» способно уловить структуру «разрывных», или «дискретных» систем — часто конечных, состоящих из «элементов», или «объектов», «изолированных» друг от друга, без какого бы то ни было правила «непрерывного перехода» от одного к другому. «Размер», напротив, есть свойство, поддающееся в полном смысле этого слова «непрерывному изменению». Он тем самым способен уловить структуру непрерывных явлений: перемещений, пространств, «многообразий» всех родов, силовых полей и т. п. Итак, арифметика выступает (грубо говоря) как наука о дискретных структурах, а анализ — как наука о непрерывных структурах.

Что касается геометрии, можно утверждать, что в течение более чем двух тысяч лет ее существования как науки (в современном понимании этого слова) она охватывает оба вида структур: как «дискретные», так и «непрерывные»[36]. Долгое время, впрочем, не было настоящего «разлада» между двумя геометриями разной природы: одной дискретной, другой непрерывной. Скорее, сосуществовали две различные точки зрения на исследование самих геометрических фигур: одна делала упор на «дискретных» (в частности, численных и комбинаторных) свойствах, другая — на «непрерывных» (таких, как положение в окружающем пространстве, или «размер», измеренный в терминах расстояний между точками фигуры, и т. п.).

Разлад возник в конце прошлого столетия, с появлением и развитием того, что иногда называют «абстрактной (алгебраической) геометрией». В общих чертах она состояла в введении для каждого простого числа р геометрии (алгебраической) «в характеристике р», скопированной с непрерывной модели геометрии (алгебраической), унаследованной от предыдущих столетий, но все же в контексте, который выступал непримиримо «разрывным», «дискретным». Эти новые геометрические объекты приобрели все возрастающее значение в начале века, и особенно ввиду тесной их связи с арифметикой, наукой в полном смысле этого слова дискретной структуры. Похоже, одна из ведущих идей труда Андрэ Вейля[37], даже может быть, главная движущая сила (которая, как водится, осталась более или менее невысказанной в его записанных работах), состоит в том, что «собственно» геометрия (алгебраическая), и в особенности «дискретные» геометрии, соответствующие различным простым числам, предоставляют ключ к широчайшему обновлению арифметики. Именно этим духом пронизаны прогремевшие в 1949 г. знаменитые гипотезы Вейля. Гипотезы совершенно потрясающие, по правде сказать, позволившие предвидеть для этих новых «многообразий» (или «пространств») дискретной природы возможность определенных типов конструкций и рассуждений[38], казавшихся до тех пор немыслимыми вне рамок тех «пространств», которые одни только почитались аналитиками достойными этого имени — именно, пространства, называемые «топологическими» (для которых применимо понятие непрерывного изменения).

Можно считать, что новая геометрия — это прежде всего прочего синтез двух миров, до ее появления смежных и тесно связанных друг с другом, но все же отдельных, различных: мира «арифметического», в котором живут (самозванные) «пространства» без принципа непрерывности, и мира непрерывных величин, где обитают «пространства» в собственном смысле этого слова, достижимые средствами аналитика и (по этой самой причине) им же признанные достойными пристанища в городе математических объектов. В новом видении эти два мира, некогда разделенные стеной, стали как один, сметя границы.

Впервые это видение арифметической геометрии (как я предлагаю назвать новую геометрию) зародилось в форме гипотез Вейля. В процессе развития некоторых моих главных тем[39] гипотезы эти оставались основным источником вдохновения все время от 1958 до 1966 г. Еще до меня, впрочем, Оскар Зарисский с одной стороны, затем Жан-Пьер Серр с другой, для пространств-без-стыда-и-совести в «абстрактной» алгебраической геометрии развили определенные «топологические» методы, основанные на тех, что прежде были в ходу среди пространств-с-прочными-устоями во всем мире[40]. Их идеи, несомненно, сыграли важную роль в построении новой геометрии, начиная с первых моих шагов; правда, скорее в качестве отправных точек и инструментов (которые мне пришлось в той или иной степени переделать для нужд куда более широкого контекста), чем источника вдохновения, который продолжал бы питать мои мечты и проекты в течение месяцев и лет. Во всяком случае, было вполне ясно сразу, что, даже преобразованные, инструменты эти были весьма далеки от того, что требовалось уже для первых шагов в направлении фантастических гипотез Вейля.