Учение о бытии - [129]
Из этих обеих функций производная или, как она была определена, функция возвышения в степень, есть в интегральном исчислении данная; а первоначальная должна быть выведена из нее путем интегрирования. Но >{203}первая дана не непосредственно, равно как не дано для себя, какую часть математического предмета следует считать за производную функцию, дабы через приведение ее к первоначальной найти другую часть или определение требуемой задачею величины. Обычный — метод, который, как сказано, сейчас же представляет известные части предмета, как бесконечно малые, в форме производной функции, находимой через дифференцирование первоначально данного уравнения предмета (напр., при выпрямлении кривой бесконечно малые абсциссы и ординаты), но зато принимает такие части, которые можно привести в связь с предметом задачи (в примере дуги), представляемом так же, как бесконечно малый, установленную элементарною математикою, вследствие чего, если эти части известны, то определяется и та часть, величина которой есть искомое; так, для выпрямления кривой пользуются вышеуказанными тремя бесконечно малыми, соединяемыми в уравнение прямоугольного треугольника, для ее квадратуры — ординатою, соединяемою с бесконечно малыми абсциссою в произведение, причем поверхность совершенно арифметически считается произведением линий. Переход от таких так называемых элементов поверхности, дуги и т. п. к величине самих поверхностей, дуги и т. п., считается затем лишь восхождением от бесконечного выражения к конечному или суммою бесконечно многих элементов, из которых должна состоять искомая величина.
Можно поэтому сказать лишь поверхностно, что интегральное исчисление есть только обратная, но вообще более трудная проблема дифференциального исчисления; реальный же интерес интегрального исчисления направляется напротив исключительно на взаимное отношение первоначальной и производной функции в конкретных предметах.
Лагранж и в этой части исчисления приложил столь же мало старания к разрешению трудности проблемы простым способом, основанным на этих прямых предположениях. Для разъяснения сущности дела полезно привести небольшое число примеров с целью ближайшего ознакомления с его приемом. Он ставит себе задачею доказать для себя, что между частными определениями некоторого математического целого, напр., кривой линии, существует отношение первоначальной к производной функции. Но этого нельзя достигнуть в рассматриваемой области прямым путем, основанным на природе самого отношения, которое в математическом предмете приводит в связь кривые линии с прямыми, линейные протяжения и их функции с поверхностными протяжениями и их функциями и т. д., т. е. качественно различное: поэтому определение можно понимать, лишь как средину между бóльшим и меньшим. Тем самым мы вновь возвращаемся к форме приращения с + и —, и бодрое: développons вступает в свою силу; но уже ранее было указано, что приращения имеют здесь лишь арифметическое, конечное значение. Из соображения того условия, что искомая величина более, чем один легко находимый предел, и менее, чем другой, выводится, например, что функция ординаты есть первая производная функция функции плоскости.>{204}
Выпрямление прямых по способу Лагранжа, исходящего при этом от принципа Архимеда, представляет тот интерес, что оно обнаруживает нам перевод архимедова метода на язык нового анализа, что позволяет бросить взгляд на внутренний и истинный смысл механически производимого другим путем действия. Этот способ по необходимости аналогичен вышеуказанному способу; архимедов принцип, по которому дуга кривой более, чем соответствующая ей хорда, и менее, чем сумма двух касательных, проведенных к конечным точкам дуги, поскольку она заключена между этими двумя точками и точкою пересечения касательных, не дает прямого уравнения. Переводом этого архимедова основного определения в новую аналитическую форму служит изобретение такого выражения, которое должно быть для себя простым основным уравнением, так как эта форма ставит лишь требование движения в бесконечность между бóльшим и меньшим, постоянно сохраняющими определенную величину, каковой переход постоянно дает лишь новые большее и меньшее, хотя во все более тесных пределах. При помощи формализма бесконечно малых сейчас же получается уравнение
