Учение о бытии - [130]
Так как в способе Архимеда так же, как впоследствии в кеплеровом исследовании предметов стереометрии, выступает представление бесконечно малых, то это часто служило авторитетом для такого употребления этого представления, какое делается в дифференциальном исчислении, без принятия в соображение имеющих тут место своеобразия и различия. Бесконечно малое означает прежде всего отрицание определенного количества, как такового, т. е. так называемого конечного значения, законченной определенности, присущей определенному количеству, как таковому.
Также и в последующих знаменитых методах Валериуса, Кавальери и др., основанных на рассмотрении отношений геометрических предметов, то основное определение, по которому определенное пространство, как таковое, поставлено для этой цели в ряд с определениями, рассматриваемыми ближайшим образом, лишь как отношения, и они должны быть поэтому признаваемы за неимеющие величины (nicht-grosses). Ho тем самым не признается и не выдвигается то утвердительное, которое находится за просто отрицательным определением, и которое ранее оказалось, говоря отвлеченно, качественною определенностью величины, состоящею более определенным образом в степенном отношении; отчасти же, поскольку это отношение само опять-таки включает в себе множество ближе определенных отношений, как, например, степени и функции ее развития, то они вновь должны быть обоснованы на общем и отрицательном определении того же бесконечно малого и выведены из него. В вышеприведенном изложении Лагранжа найдено то определенное утвердительное, которое свойственно >{205}архимедову способу изложения задачи, а тем самым приведен в свои надлежащие пределы прием, коему было присуще движение в бесконечность. Величие нового изобретения для себя и его способность разрешать до того времени неразрешимые задачи, а ранее разрешимые разрешать более простым способом, должны быть приписаны исключительно открытию отношения первоначальной к производной функции и тех частей математического целого, которые состоят в таком отношении.
Приведенных соображений достаточно для того, чтобы выяснить то своеобразие в отношении величин, которое составляет предмет рассматриваемого ныне особого вида исчисления. Эти соображения можно было ограничить простыми задачами и способами их решения; и не соответствовало бы ни цели определения понятия, которое имелось здесь единственно в виду, ни силам автора обозреть весь объем т. наз. приложения дифференциального и интегрального исчисления и распространить индукцию, лежащую в основе указанного ею принципа, на все задачи и их решения. Но изложенное достаточно показало, что как каждому особому способу исчисления свойственна особая определенность или особое отношение величины к его предмету, и что как этот особый способ составляет сложение, умножение, возвышение в степень и извлечение корня, исчисление логарифмов и рядов и т. п., так то же справедливо о дифференциальном и интегральном исчислении; для того, что относится к этому исчислению, всего уместнее было бы название отношения степенной функции и функции ее развития или возвышения в степень, так как оно всего ближе к пониманию природы дела. Но как действие по другим отношениям величины, напр., сложение и т. п., также вообще употребляется при этом исчислении, так к нему применяются и логарифмы, отношения окружности и ряды в особенности для того, чтобы сделать удобнее выражение при потребных действиях вывода первоначальных из производных функций.
С формою ряда дифференциальное и интегральное исчисление вообще имеет ближайший общий интерес определения тех развиваемых функций, которые в рядах именуются коэффициентами членов; но между тем как интерес этого исчисления простирается лишь на отношение первоначальной функции к ближайшему коэффициенту ряда, ряд стремится найти сумму множества членов, расположенного по порядку степеней, с коим связаны эти коэффициенты. Бесконечное, присущее бесконечному ряду, неопределенное выражение отрицания определенного количества вообще, не имеет ничего общего с утвердительным определением, присущим бесконечному этого исчисления. Равным образом бесконечно малое, как приращение, посредством которого развитие принимает форму ряда, есть лишь внешнее средство этого развитие, и его так называемой бесконечности принадлежит лишь значение не иметь никакого значения, кроме значения такого средства; ряд, поскольку он в действительности не есть то, что от него требуется, приводит к некоторой прибавке, вновь отбросить которую есть излишний труд. Этим затруднением обременен и метод Лагранжа, который вновь прибег по преиму>{206}ществу к форме ряда; хотя именно в этом методе чрез то, что наименовано приложением, проявляется истинное своеобразие, так как вместо того, чтобы втеснять формы
