У интуиции есть своя логика. Гёдель. Теоремы о неполноте - [12]

Для начала целью Гильберта была разработка такой программы для арифметики — теории, относящейся к свойствам сложения и умножения натуральных чисел (в ней идет речь о самых простых числах и самых простых операциях). Гильберт, как и интуиционисты, поддерживал идею о том, что основой всей математики должна быть арифметика, а не теория множеств. Если установить прочную базу для арифметики, будет легко добиться таких же прочных оснований для всех остальных теорий.

-----------врезка----------

ПРИБЛИЖЕНИЯ К √2

Для интуиционистов √2 существует только как недостижимый результат, к которому асимптотически приводят последовательные приближения. Эти приближения, в свою очередь, должны быть вычислены по определенным, четким правилам. Существуют многочисленные формулы, позволяющие вычислить последовательные приближения к √2. Одна из самых древних и в то же время самых простых формул была известна Герону Александрийскому уже в I веке. В переводе на современный язык в правиле Герона для приближения к √2 говорится следующее.

— Шаг 1: возьмите любое положительное число.

— Шаг 2: назовите выбранное число х и вычислите 1/2(x + 2/x).

— Шаг 3: примените ту же формулу к полученному результату.

— Шаг 4: продолжайте применять ту же самую формулу столько раз, сколько пожелаете.

Если на первом шаге мы выбрали 5, в первый раз получим 2,7. Подставив 2,7 в формулу, получим 1,72037037..., затем 1,4414553..., затем 1,41447098..., и так далее, все больше приближаясь к √2.

Проблема нахождения системы аксиом для арифметики была представлена Гильбертом в докладе 1900 года (вторая проблема в списке), хотя в ее формулировку не было включено существование механической проверки рассуждений. Зато вопрос алгоритма появлялся в десятой проблеме, в которой спрашивалось, всегда ли возможно механически определить, имеет ли решение особый тип уравнений, называемых диофантовыми. Как мы видим, в докладе ученого появились, хотя и по отдельности, две центральные идеи формальной программы.

Иногда говорят, что Гильберт считал, будто работа математика должна сводиться к механическому процессу: он, словно компьютер, должен вычислять, но не думать. Но это не так. Механический характер носит только проверка справедливости аргументов, использованных математиком, а не открытие самих аргументов. Чтобы подчеркнуть эту разницу, Гильберт говорил о двух науках: математике и метаматематике. Объектом второй науки, механической и связанной с конечностью, была бы проверка методов первой.

АКСИОМЫ ПЕАНО

Давид Гильберт в качестве одной из кардинальных проблем представил нахождение множества аксиом арифметики, которые позволили бы доказать все истины теории (не упоминая необходимости механической проверки правильности использованных рассуждений). В своем докладе Гильберт не указал на существующие работы по этой теме. Это упущение вызвало недовольство Джузеппе Пеано — итальянского математика, присутствовавшего на лекции Гильберта. В1889 году он предложил аксиомы арифметики, считая, что они позволят вывести все истинные арифметические высказывания. Аксиомы Пеано, как они известны сегодня, имеют в качестве первичных элементов число 1, знаки сложения (+) и умножения (·) и функции последующего элемента (S).

— Аксиома 1: S(x) никогда не равно 1, то есть 1 не является последующим членом ни для какого числа.

— Аксиома 2: если S(x) = S(y), то х = у.

— Аксиома 3: х + 1 = S(x).

— Аксиома 4: х + S(y) = S(x + у).

— Аксиома 5: х · 1 = х.

— Аксиома 6: х · S(y) = х · у + х.

— Аксиома 7: если можно доказать, что 1 выполняет некое свойство, х его выполняет и S(x) — тоже, то можно сделать вывод: это свойство справедливо для всех натуральных чисел.

Последняя аксиома, также называемая схемой индукции, выражает тот факт, что все натуральные числа получаются на основе единицы повторяющимся применением функции последующего элемента. Если свойство справедливо для числа 1 и мы можем быть уверены, что оно будет распространяться на каждое число, выраженное последующим элементом, то это свойство будет справедливо для всех натуральных чисел. Следствие из теоремы Гёделя состоит в том, что если учитывать условие алгоритмической проверки всех рассуждений, то будут существовать арифметические истины, недоказуемые на основе этих аксиом. Таким образом, арифметика будет неполной.

С 1920 по 1930 год Гильберт опубликовал ряд статей, в которых постепенно излагал свою программу и показывал, как ее можно осуществить на практике. Другие математики увлеклись этой идеей и внесли значительный вклад в ее осуществление. Сам Гёдель в 1929 году, защищая докторскую диссертацию, показал, что можно установить методы рассуждения, правильность которых может быть проверена алгоритмически. В том же году польский математик Мойжеш Пресбургер представил ряд аксиом, непротиворечивость которых можно было проверить алгоритмически. Они позволяли доказать хотя и не все арифметические истины, но их значительную часть. Это были две важные победы формальной программы.

В то же время интуиционизм терял авторитет среди математиков. Многие из тех, кто симпатизировал общим идеям Брауэра, начинали чувствовать, что их реализация на практике, предполагавшая отказ от рассуждений из области теории множеств, принесет больше потерь, чем преимуществ. Формальная программа, в свою очередь, предлагала альтернативу, которая была допустима с философской точки зрения и осуществима на практике.