У интуиции есть своя логика. Гёдель. Теоремы о неполноте - [11]
В 1890 году он поддержал кандидатуру Кантора на пост председателя Немецкого математического общества. Кроме того, ученые дружили и вели интенсивную переписку.
Семья Гёделя. Слева направо: Марианна, Курт, Рудольф- старший и Рудольф- младший.
Немецкий математик Георг Кантор, которому приписывается создание теории множеств.
Гёдель в Вене в первой половине 1920-х годов, когда он доказал свою первую теорему о неполноте.
Давид Гильберт родился 23 января 1862 года в Кёнигсберге, Германия (сегодня Калининград, Россия), и в 1885 году стал доктором математики в университете того же города. Через десять лет ему предложили должность в Гёттингене (одном из двух самых важных исследовательских центров в Германии наряду с Берлином), которую он потом занимал до конца карьеры. В числе прочего ученый внес значительный вклад в алгебру, геометрию, анализ и основания математики.
В 1899 году Гильберт переформулировал «Начала» Евклида, исправив некоторые логические пробелы, не замеченные в течение более 2100 лет. Его итоговая работа, «Основания геометрии»,— это выдающийся труд в истории математической логики. И конечно, знаковым является доклад Гильберта на Втором Международном математическом конгрессе, прошедшем в Париже в 1900 году. Одна фраза из доклада стала бессмертной. В ней ученый выразил убежденность в том, что неразрешимых математических проблем не существует: «Мы должны знать, и мы будем знать» (Wirmiissen wissen, wir werden wissen). Гильберт скончался в Гёттингене 14 февраля 1943 года.
В 1900 году Гильберту было предложено прочитать инаугурационный доклад на Втором Международном математическом конгрессе в Париже. Это была почетная задача, которая говорила о признании, которое ученый заслужил своей блистательной карьерой. До сих пор, даже век спустя, доклад Гильберта широко известен, и его полный текст можно найти в интернете. Анализу этого выступления были посвящены целые книги.
В своем докладе Гильберт представил 23 нерешенные математические проблемы, принадлежащие к разным областям этой науки, решение которых, как он думал, определит направление математических исследований XX века. Первая проблема связана с теорией Кантора и известна как континуум-гипотеза. Она была впервые поставлена самим Кантором в 1880-х годах, причем сам ученый так и не решил ее. Позже мы вернемся к этой проблеме, поскольку Гёдель в 1940 году нашел частичное решение, которое затем было дополнено Полом Коэном.
Решение поместить континуум-гипотезу на первое место в списке следует трактовать как открытую поддержку Гильбертом теории множеств Кантора. В первые годы полемики об основаниях математики Гильберт держался в стороне, возможно надеясь на то, что интуиционистская точка зрения падет под тяжестью собственного веса. Но к 1920 году логицизм начал приходить в упадок, а интуиционизм набирал все больше сторонников. Именно поэтому в итоге Гильберт решил выступить лично. Под лозунгом «Никто не сможет изгнать нас из рая, который создал для нас Кантор» ученый решил остановить интуиционизм. Для этого он предложил третье решение проблемы, поставленной парадоксом Рассела. Оно было направлено на то, чтобы привлечь внимание сторонников интуиционизма и одновременно оставить нетронутой теорию Кантора.
Привлечь интуиционистов, но в то же время спасти теорию Кантора? Казалось, это невозможная задача, поскольку интуиционисты открыто отвергали актуальную бесконечность как абсурдное понятие. Но Гильберт был Гильбертом, и с помощью своего ума, ловкости и хитрости он добился своей цели.
В 1920 году Курту Гёделю было 14 лет, и в своем родном городе Брно он, возможно, мечтал о научной карьере. В то же время в Геттингене 58-летний Давид Гильберт начал примирение интуиционистов с актуальной бесконечностью. Эта работа займет десять лет.
Как уже было сказано, интуиционистская мысль находилась полностью во власти идеи конечности. Они считали, что существуют только объекты, которые можно построить механически на основе натуральных чисел за конечное количество шагов. Иррациональные числа, такие как π или √2, могли рассматриваться лишь как недостижимый результат последовательных вычислений, основанных на специфических формулах.
Предложение Гильберта, по сути, заключалось в том, чтобы привести требование конечности математических объектов к математическим рассуждениям. Мы можем перефразировать его мысль следующим образом. Установим такие методы рассуждения, чтобы правильность нашей аргументации можно было проверить алгоритмически за конечное количество шагов (алгоритм — это механический процесс, выполнимый компьютером). Кроме того, убедимся тем же «конечным» способом, что наши доказательства никогда не приведут к парадоксу. Как только мы достигнем этой цели, в наших теориях можно будет говорить о любом объекте, даже об актуальной бесконечности.
В программе Гильберта, которую также называют формальной программой, утверждается, что любая математическая теория должна быть основана на аксиомах, то есть на некоторых базовых утверждениях, принятых в качестве истинных. Любое другое утверждение должно быть доказано на основе этих аксиом с помощью рассуждений, справедливость которых можно будет проверить механически за конечное число шагов. Кроме того, непротиворечивость этих аксиом (то, что они никогда не приведут нас к парадоксу, как это произошло с Фреге) также должна быть проверена тем же механическим, или алгоритмическим, способом.
