Том 31. Тайная жизнь чисел. Любопытные разделы математики - [9]
Вундеркинд Карл Фридрих Гаусс в 19 лет обнаружил, какие многоугольники можно построить с помощью циркуля и линейки, а какие — нет. В то время Гаусс колебался между лингвистикой и математикой, поскольку к обеим наукам проявил удивительные способности. Раскрыв тайну многоугольников, он понял, что призван стать геометром, и занялся математикой. Гауссу не пришлось сожалеть о выборе: многие годы он оставался бесспорным лидером в своей области.
Найденный им ответ к задаче о многоугольниках был таким: правильный n-угольник можно построить с помощью циркуля и линейки, если выполняется равенство
n = 2>kp>1p>2·…·p>m при k >= 0,
где р>i— либо единицы, либо различные простые числа Ферма. Осталось объяснить, какие числа называются числами Ферма. Число F>p называется числом Ферма, если имеет вид
Числа Ферма могут быть простыми или составными:
F>6 разложил на множители французский математик Фортюне Ландри в 1880 году. Для последующих F>p вплоть до F>11 были найдены способы разложения на множители, но больше простых чисел Ферма обнаружить пока не удалось. Неизвестно, существуют ли они.
Из теоремы следует, что возможно построение правильных n-угольников для
n = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 24 … вплоть до 65537, что соответствует F>4.
Здесь мы ненадолго остановимся и укажем, что, по-видимому, существует руководство, описывающее построение правильного 65537-угольника.
В 1894 году немецкий геометр Иоганн Густав Гермес (1846–1912) завершил немыслимое построение, занимающее свыше 200 страниц. Он не смог опубликовать свой труд и передал рукопись Гёттингенскому университету, где она хранится до сих пор и, возможно, будет храниться вечно — ознакомившись с описанием построения, некоторые сомневаются в его правильности. Каким же огромным будет разочарование, если окажется, что Гермес, потратив столько сил (по оценкам британского геометра Гарольда Скотта Макдональда Коксетера, эта работа заняла десять лет), допустил ошибку. Но вряд ли кто-то готов потратить еще десять лет на то, чтобы убедиться в этом.
Гаспар Монж (1746–1818) не был рыцарем — он родился и вырос в семье торговцев. Его жизнь была неразрывно связана с Наполеоном Бонапартом — Монж последовал за Наполеоном в Египетский поход и с тех пор не расставался с ним. После смерти Монжа король запретил ученикам Политехнической школы присутствовать на похоронах. Сегодня гроб с телом ученого находится в Пантеоне. Монж был создателем начертательной геометрии и одним из крупнейших специалистов по начертательной и дифференциальной геометрии. О событиях его бурной жизни можно было бы написать целую книгу, но мы изложим всего один эпизод.
В юности Монж вел светский образ жизни. Однажды на приеме он услышал, как один из присутствовавших осыпал проклятиями некую вдову Орбон, которая отвергла его ухаживания. Неудачливый донжуан жаждал мести и обвинял вдову во всех смертных грехах. Галантный Монж не стерпел подобных оскорблений в адрес отсутствовавшей дамы и повздорил с этим господином. Ссора оказалась чрезмерно горячей, и оппоненты даже вызвали друг друга на дуэль, которая, впрочем, не состоялась. Спустя некоторое время Монжа представили одной очаровательной вдове, и он был восхищен ее юностью и красотой. Дама не хотела выходить замуж повторно до тех пор, пока не будут улажены все дела ее покойного мужа. Вы уже, наверное, догадались, что это была не кто иная, как мадам Орбон. Они поженились в 1778 году и, как говорят в сказках, стали жить-поживать и даже добра наживать, так как Наполеон пожаловал Монжу титул графа Пелузского. Современники считали этот брак примером для подражания.
Возможно, самым безобидным из деяний Наполеона Бонапарта (1769–1821), которое он совершил во время, свободное от принятия законов, покорения империй и планирования битв, было доказательство теорем. Наполеон, математик-любитель, не достиг профессионального уровня только потому, что, как всем известно, занимался несколько другими вещами. Однако он любил окружать себя блестящими математиками и часто беседовал с Фурье, Монжем, Лапласом и многими другими учеными. Возможно, при этом полководец несколько разочаровывал своих генералов, которых интересовало уничтожение противника, а не построения с помощью циркуля и линейки. Рассказывают, что военачальники, присутствовавшие на встречах императора с интеллектуалами, часто засыпали от скуки. Также известно, что Наполеон повелел геометру Лоренцо Маскерони (1750–1800) читать своим маршалам лекции по геометрии.
Приписываемая Наполеону теорема гласит, что если построить на сторонах произвольного треугольника равносторонние треугольники, то их центры определят равносторонний треугольник. Понять эту красивую теорему, которая считается элементарной теоремой геометрии Евклида, поможет рисунок.
Эта теорема, возможно, действительно была предложена в наполеоновскую эпоху, однако ее доказательство, по мнению экспертов, принадлежит не Наполеону. Формулировки этой теоремы с доказательством встречаются у разных авторов, старейшее принадлежит Резерфорду и датируется 1825 годом. Наполеон умер на острове Святой Елены четырьмя годами ранее, так что авторство теоремы вряд ли принадлежит ему. Любопытно, что Резерфорд опубликовал свое доказательство в развлекательном ежегоднике для дам —
![Секреты числа Пи. Почему неразрешима задача о квадратуре круга](/storage/book-covers/8a/8af3948a8474b36abd60974431e1fe85d725d18e.jpg)
Число π, пожалуй, самое удивительное и парадоксальное в мире математики. Несмотря на то что ему посвящено множество книг, оно по праву считается самым изученным и сказать о нем что-то новое довольно сложно, оно по-прежнему притягивает пытливые умы исследователей. Для людей, далеких от математики, число π окружено множеством загадок. Знаете ли вы, для чего ученые считают десятичные знаки числа π? Зачем нам необходим перечень первого миллиарда знаков π? Правда ли, что науке известно все о числе π и его знаках? На эти и многие другие вопросы поможет найти ответ данная книга.
![До предела чисел. Эйлер. Математический анализ](/storage/book-covers/40/400bd1108257f176f306a958f68856326599dd3d.jpg)
Леонард Эйлер, без всякого сомнения, был самым выдающимся математиком эпохи Просвещения и одним из самых великих ученых в истории этой науки. Хотя в первую очередь его имя неразрывно связано с математическим анализом (рядами, пределами и дифференциальным исчислением), его титаническая научная работа этим не ограничивалась. Он сделал фундаментальные открытия в геометрии и теории чисел, создал с нуля новую область исследований — теорию графов, опубликовал бесчисленные работы по самым разным вопросам: гидродинамике, механике, астрономии, оптике и кораблестроению.
![Том 37. Женщины-математики. От Гипатии до Эмми Нётер](/storage/book-covers/9d/9dc30acd39aa4b31024836db53d983a60c44d456.jpg)
Из этой книги читатель узнает о жизни и научных достижениях самых выдающихся женщин-математиков разных эпох. Это Гипатия и Лукреция Пископия, Каролина Гершель и Мэри Сомервилль, Ада Лавлейс и Флоренс Найтингейл, Софья Ковалевская и Эмми Нётер, Грейс Хоппер и Джулия Робинсон. Хотя они жили в разные времена и исследовали разные области математики, всех их объединяла любовь к этой науке, а также стремление сломать сложившиеся в обществе стереотипы. Своим примером они доказали всему миру: женщины обладают такими же интеллектуальными способностями, как и мужчины, и преуспели в математике чуть меньше исключительно по социальным причинам.
![100 великих научных открытий](/storage/book-covers/1a/1a68719f4f1b51447d4ec8f230748ecbf282f321.jpg)
Астрономия, физика, математика, химия, биология и медицина — 100 открытий, которые стали научными прорывами и изменили нашу жизнь. Патенты и изобретения — по-настоящему эпохальные научные перевороты. Величайшие медицинские открытия — пенициллин и инсулин, группы крови и резусфактор, ДНК и РНК. Фотосинтез, периодический закон химических элементов и другие биологические процессы. Открытия в физике — атмосферное давление, инфракрасное излучение и ультрафиолет. Астрономические знания о магнитном поле земли и законе всемирного тяготения, теории Большого взрыва и озоновых дырах.
![Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса](/storage/book-covers/f4/f40111c9847044d24d4235f5efb2f614e40eade9.jpg)
Профессор Иэн Стюарт в увлекательной манере и с юмором рассказывает о том, как развивалась математика – с древнейших времен и до наших дней. Он рассматривает наиболее значимые темы и события, обращая особое внимание на их прикладной характер. Вы познакомитесь с виднейшими математиками своих эпох, а также узнаете, как то или иное математическое открытие повлияло на нас и нашу историю. Эта книга для математиков и всех, кто интересуется историей математики и науки вообще. На русском языке публикуется впервые.
![Стратегии решения математических задач](/storage/book-covers/03/031148884c067c74fd0d8ed68c656450c427b0e7.jpg)
Любую задачу можно решить разными способами, однако в учебниках чаще всего предлагают только один вариант решения. Настоящее умение заключается не в том, чтобы из раза в раз использовать стандартный метод, а в том, чтобы находить наиболее подходящий, пусть даже и необычный, способ решения.В этой книге рассказывается о десяти различных стратегиях решения задач. Каждая глава начинается с описания конкретной стратегии и того, как ее можно использовать в бытовых ситуациях, а затем приводятся примеры применения такой стратегии в математике.
![Система Диофанта](/build/oblozhka.dc6e36b8.jpg)
Если вы хотите поразить одноклассников молниеносным решением квадратных уравнений [КУ], давайте развлечемся.
![Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики](/storage/book-covers/e7/e7be59ca89b31df0467cddbbe13c5e4586b26484.jpg)
Давид Гильберт намеревался привести математику из методологического хаоса, в который она погрузилась в конце XIX века, к порядку посредством аксиомы, обосновавшей ее непротиворечиво и полно. В итоге этот эпохальный проект провалился, но сама попытка навсегда изменила облик всей дисциплины. Чтобы избавить математику от противоречий, сделать ее «идеальной», Гильберт исследовал ее вдоль и поперек, даже углубился в физику, чтобы предоставить квантовой механике структуру, названную позже его именем, — гильбертово пространство.
![Математика для мам и пап: Домашка без мучений](/storage/book-covers/d9/d91c7be5fa507c1c72b69834ba0ae0e6f2b901f9.jpg)
«Мам, помоги мне с домашкой по математике!», «Пап, я не понимаю задачу, объясни!» – любой родитель младшеклассника рано или поздно сталкивается с такими просьбами. Однако порой мы сами не можем разобраться, как выполнить задание, или наше разъяснение такое сложное, что ребенок сбит с толку, а повторять в пятидесятый раз уже не хватает терпения. Эта книга для родителей, которые хотят понять, что происходит в голове у детей при решении сложных примеров, что способно запутать ребенка, а что – навести на правильный ответ.