Том 31. Тайная жизнь чисел. Любопытные разделы математики - [11]
Позднее были опубликованы остросюжетные, хотя и весьма путаные воспоминания ученого, а также несколько его трудов. Все эти книги отличались внушительными размерами. Он редко вступал в личный контакт, предпочитая переписку. Уже более 20 лет нам ничего неизвестно о его новых работах, и нет надежды, что имя Гротендика когда-нибудь промелькнет в новостях — разве что по случаю его кончины. Как жаль, что мы лишились такого ученого!
Как вы уже знаете, некоторые правители, к примеру Наполеон или Имон де Валера, испытывали любовь к математике. Например, экс-президент США Джеймс Гарфилд (1831–1881) во время одного из скучнейших заседаний даже нашел новое доказательство теоремы Пифагора. Однако существуют и политики, взаимоотношения которых с математикой не столь успешны. Известна очень смешная история о Тони Блэре, рассказанная учителем математики в Chorister School, где юный Блэр учился. В ответе к задаче о прямоугольных треугольниках он почему-то упомянул слово «носорог». Блэр признался, что использовал это слово по уважительной причине: «Я бы написал "гиппопотам", но не был уверен, как именно оно пишется, поэтому не захотел огорчать учителя и написал первое более или менее похожее слово, которое пришло в голову». Словом, которое никак не мог вспомнить Блэр, была «гипотенуза». В этот момент Евклид, наверное, перевернулся в гробу.
Путаница между словами «гиппопотам» (англ, hippopotamus) и «гипотенуза» (англ, hypotenuse) стала классической темой математических анекдотов. Мы привели здесь эту историю потому, что она подтверждена документально и в ней рассказывается об известной личности.
Как сказал бы капитан Хэддок, друг героя комиксов Тинтина, у всех бутылок в нашем мире есть «внутри» и «снаружи», и они либо пусты, либо в них что-то налито. Но правильнее было бы сказать «почти у всех», поскольку существуют математические бутылки (бесполезные для Хэддока и потому ему неизвестные), обладающие весьма необычными свойствами. Немецкий математик Феликс Клейн (1849–1925) в 1882 году описал бутылку, у которой, как вы можете видеть, нет ни внутренней, ни наружной части. И выпить из нее нельзя.
Читатель, конечно, может попытаться представить ее себе полной или пустой, но в нашей трехмерной Вселенной такая бутылка, к несчастью, пронзает сама себя, а вот в четырехмерном пространстве — вполне возможна. Со строго геометрической точки зрения, бутылка Клейна — это замкнутая неориентируемая поверхность без границы, которая изучается в топологии наряду со своей сестрой, лентой Мёбиуса.
Анекдотичность этой геометрической диковинки заключена в ее названии, куда вкралась ошибка: изначально на немецком языке бутылка Клейна называлась Kleinsche Flache, то есть «поверхность Клейна». Если кто-то хочет изобразить эту поверхность (для этого достаточно компьютерной программы и принтера), он должен будет построить график следующего уравнения в декартовых координатах:
(x>2 + у>2 + z>2 + 2у — 1)·[(x>2 + у>2 + z>2 — 2y — 1)>2 — 8z>2] + 16xz(x>2 + y>2 + z>2 — 2y — 1) = 0
Однако даже математики порой ошибаются, и Kleinsche Flache стало писаться как Kleinsche Flasche, что как раз и означает «бутылка Клейна». А поскольку слово «бутылка» тоже довольно точно описывает поверхность Клейна, то это ошибочное название стало в научном мире общепринятым.
Открытие бутылки Клейна предоставило ряд возможностей и для бизнеса: в интернете вы найдете шапки, имеющие форму поверхности Клейна, или ковши для зачерпывания вина, которые представляют собой практически ее копию.
Глава 3
Анализ
А что такое эти флюксии? Скорости исчезающих приращений.
А что такое эти самые исчезающие приращения?
Они не есть ни конечные величины, ни величины бесконечно малые, но они и не нули.
Разве мы не имеем права назвать их призраками исчезнувших величин?
Епископ Джордж Беркли (1685–1753)
Процитированные выше строки взяты из памфлета «Аналитик» (The Analyst, 1734) — прекрасного интеллектуального упражнения англиканского епископа, посвященного «одному неверующему математику» — по-видимому, Беркли имел в виду Эдмунда Галлея (1656–1742), который славился своей недоверчивостью.
В памфлете Беркли выступает против недавно появившегося ньютоновского исчисления, столь обожаемого Галлеем и всем научным миром, возражая им (и небезосновательно), что если они не верят в Бога, поскольку священные тексты им непонятны, то не следует верить и в почти мистические хитросплетения математического анализа.
Прошли годы и даже столетия, доверие к математическому анализу было восстановлено благодаря более строгим и четким, но менее интуитивным определениям. Тем не менее не стоит забывать слова Беркли, превосходного философа-эмпирика (его именем назван знаменитый американский университет). Напротив, следует отдать ему дань уважения за грамотную и обоснованную критику.
Методы, описанные Ньютоном и Лейбницем, открыли множество путей в науке и вместе с тем породили множество анекдотичных ситуаций. Приведем некоторые из них.
Портрет епископа
![Секреты числа Пи. Почему неразрешима задача о квадратуре круга](/storage/book-covers/8a/8af3948a8474b36abd60974431e1fe85d725d18e.jpg)
Число π, пожалуй, самое удивительное и парадоксальное в мире математики. Несмотря на то что ему посвящено множество книг, оно по праву считается самым изученным и сказать о нем что-то новое довольно сложно, оно по-прежнему притягивает пытливые умы исследователей. Для людей, далеких от математики, число π окружено множеством загадок. Знаете ли вы, для чего ученые считают десятичные знаки числа π? Зачем нам необходим перечень первого миллиарда знаков π? Правда ли, что науке известно все о числе π и его знаках? На эти и многие другие вопросы поможет найти ответ данная книга.
![Том 37. Женщины-математики. От Гипатии до Эмми Нётер](/storage/book-covers/9d/9dc30acd39aa4b31024836db53d983a60c44d456.jpg)
Из этой книги читатель узнает о жизни и научных достижениях самых выдающихся женщин-математиков разных эпох. Это Гипатия и Лукреция Пископия, Каролина Гершель и Мэри Сомервилль, Ада Лавлейс и Флоренс Найтингейл, Софья Ковалевская и Эмми Нётер, Грейс Хоппер и Джулия Робинсон. Хотя они жили в разные времена и исследовали разные области математики, всех их объединяла любовь к этой науке, а также стремление сломать сложившиеся в обществе стереотипы. Своим примером они доказали всему миру: женщины обладают такими же интеллектуальными способностями, как и мужчины, и преуспели в математике чуть меньше исключительно по социальным причинам.
![До предела чисел. Эйлер. Математический анализ](/storage/book-covers/40/400bd1108257f176f306a958f68856326599dd3d.jpg)
Леонард Эйлер, без всякого сомнения, был самым выдающимся математиком эпохи Просвещения и одним из самых великих ученых в истории этой науки. Хотя в первую очередь его имя неразрывно связано с математическим анализом (рядами, пределами и дифференциальным исчислением), его титаническая научная работа этим не ограничивалась. Он сделал фундаментальные открытия в геометрии и теории чисел, создал с нуля новую область исследований — теорию графов, опубликовал бесчисленные работы по самым разным вопросам: гидродинамике, механике, астрономии, оптике и кораблестроению.
![Примени математику](/storage/book-covers/fd/fdba715fef3f71f15aacf69a4756b9f5bb2fb759.jpg)
На примере решения большого числа конкретных задач в основном практического содержания показывается, как использовать математические идеи и методы для нахождения выхода из разного рода затруднительных положений, которые могут возникнуть в повседневной жизни. Рассматриваются вопросы построения и изменения ограниченными средствами, поиска оптимального решения в той или иной ситуации, способы быстрого счета, задачи на разрезание, переливание, взвешивание и т. п. Для школьников и всех любителей математики. Источник:http://mathemlib.ru/books/item/f00/s00/z0000034/index.shtml.
![Математика на ходу](/storage/book-covers/57/5727b04df694cb10c749b34974709cd844eafe0a.jpg)
Как приобщить ребенка к математике и даже сделать так, чтобы он ее полюбил? Замечательные британские популяризаторы науки Роб Истуэй и Майк Эскью нашли веселый и легкий путь к детскому сердцу, превратив страшное пугало – математику – в серию увлекательных игр для детей от 4 до 14 лет. Пусть ваш ребенок исподволь овладевает математической премудростью, играя изо дня в день в угадайку, числовые прятки, двадцаточку и зеленую волну. Вы сможете играть за столом, в очереди к врачу, в магазине, на прогулке, используя подручный счетный материал: машины на стоянке, товары на полках супермаркета, мотоциклистов на дороге… И конечно, ничто не мешает вам переиначивать придуманные авторами математические забавы на свой лад, приспосабливая их ко вкусам и потребностям собственных детей.
![Значимые фигуры](/storage/book-covers/d7/d7f0df5613308e18bae9ea191a025a20a1ae1b3e.jpg)
Несмотря на загадочное происхождение отдельных своих элементов, математика не рождается в вакууме: ее создают люди. Некоторые из этих людей демонстрируют поразительную оригинальность и ясность ума. Именно им мы обязаны великими прорывными открытиями, именно их называем пионерами, первопроходцами, значимыми фигурами математики. Иэн Стюарт описывает открытия и раскрывает перед нами судьбы 25 величайших математиков в истории – от Архимеда до Уильяма Тёрстона. Каждый из этих потрясающих людей из разных уголков мира внес решающий вклад в развитие своей области математики.
![Квантовый оптоэлектронный генератор](/storage/book-covers/8b/8be55f18136435863277e4bca7e9f78d9371e224.jpg)
В книге развита теория квантового оптоэлектронного генератора (ОЭГ). Предложена модель ОЭГ на базе полуклассических уравнений лазера. При анализе доказано, что главным источником шума в ОЭГ является спонтанный шум лазера, обусловленный квантовой природой. Приводятся схемы и экспериментальные результаты исследования малошумящего ОЭГ, предназначенного для применения в различных областях военно-космической сферы.
![Стратегии решения математических задач](/storage/book-covers/03/031148884c067c74fd0d8ed68c656450c427b0e7.jpg)
Любую задачу можно решить разными способами, однако в учебниках чаще всего предлагают только один вариант решения. Настоящее умение заключается не в том, чтобы из раза в раз использовать стандартный метод, а в том, чтобы находить наиболее подходящий, пусть даже и необычный, способ решения.В этой книге рассказывается о десяти различных стратегиях решения задач. Каждая глава начинается с описания конкретной стратегии и того, как ее можно использовать в бытовых ситуациях, а затем приводятся примеры применения такой стратегии в математике.
![Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики](/storage/book-covers/e7/e7be59ca89b31df0467cddbbe13c5e4586b26484.jpg)
Давид Гильберт намеревался привести математику из методологического хаоса, в который она погрузилась в конце XIX века, к порядку посредством аксиомы, обосновавшей ее непротиворечиво и полно. В итоге этот эпохальный проект провалился, но сама попытка навсегда изменила облик всей дисциплины. Чтобы избавить математику от противоречий, сделать ее «идеальной», Гильберт исследовал ее вдоль и поперек, даже углубился в физику, чтобы предоставить квантовой механике структуру, названную позже его именем, — гильбертово пространство.