Том 31. Тайная жизнь чисел. Любопытные разделы математики - [7]
Множество математиков с числом Эрдёша, равным 1, содержит 311 человек. В их число входит знаменитый бейсболист Хэнк Аарон — по совету математика Карла Померанса (род. 1944) Эрдёш оставил ему автограф на бейсбольном мяче во время церемонии вручения степени почетного доктора. Кто-то подсчитал, что 90 % ученых современности имеют число Эрдёша, меньшее или равное 8. Наибольшее известное на сегодняшний день число Эрдёша равно 15. Следует отметить, что старейшим математиком, принадлежащим к этой блестящей компании, является Рихард Дедекинд (1831–1916) с числом Е (Дедекинда) = 7.
«Мой разум открыт» — говорил Пал Эрдёш друзьям, когда стучался в их двери, чтобы погостить у них. С собой ученый брал только чемодан и смену белья, поскольку все остальное — его ум и готовность решать самые запутанные задачи — были при нем всегда. После этой фразы часто звучало и другое его изречение: «Another roof, another proof» («Еще одна крыша, еще одно доказательство»).
Все, что не было связано с математикой, вызывало у Эрдёша просто мучительную скуку. Как-то раз его пригласили на ужин, и когда ученый убедился, что гости действительно собрались ужинать, а не говорить о математике, то уткнулся носом в тарелку и заснул. Существует еще одна история, рассказанная польско-американским математиком Марком Кацом (1914–1984). Один из семинаров Каца был посвящен теме, не слишком интересной Эрдёшу, и тот благополучно задремал. Однако в какой-то момент Кац зашел в тупик, не в силах решить задачу о делителях числа, и ровно в этот же момент Эрдёш проснулся, словно хищник, почуявший добычу, и тут же погрузился в задачу. Кац еще не закончил говорить, как Эрдёш триумфально вскинул голову: задача была решена.
Эта история началась благодаря Альберту Вилански, который описал новый класс чисел, взяв за основу телефон своего зятя — по крайней мере, именно так изложены события в книгах по теории чисел. У зятя Вилански, некого Гарольда Смита, был номер телефона 4937775. Сумма его цифр равна 42:
4 + 9 + 3 + 7 + 7 + 7 + 5 = 42.
Затем Вилански разложил номер телефона на простые множители:
4937 775 = 3·5>2·65 837
и записал его без показателей степени, точно так же, как это делают школьники:
4937 775 = 3·5·5·65 837.
Сюрприз! Сумма всех цифр этих чисел вновь равнялась 42:
3 + 5 + 5 + 6 + 5 + 8 + 3 + 7 = 42.
Другой не обратил бы на это внимания, но Вилански испытал настоящее озарение. Так появились числа Смита. Число Смита (мы приведем его определение в десятичной системе счисления, но его можно определить и в любой другой) — это составное число, для которого при разложении на множители и записи в указанном виде сумма цифр исходного числа и сумма цифр его простых сомножителей равны. Изучение чисел Смита оказалось довольно плодотворным, и сегодня этим занимаются сотни и тысячи математиков. Известно, что чисел Смита бесконечно много (недаром это весьма распространенная фамилия в англоязычных странах), бесконечное множество из них является палиндромами, и даже известно одно любопытное число Смита
9·10>1031(10>4594 + 3·10>2297 + 1)>1476·10>3913210,
где R>1031 (R означает «репьюнит» от английского «повторяющаяся единица») обозначает целое число, записанное как 1031 единица подряд, или, что аналогично
R>1031 = (10>1031 - 9)/9
На 2010 год это число было наибольшим из известных чисел Смита. Самым примечательным в этом классе является «число зверя» 666, упоминаемое в Откровении Иоанна Богослова:
С другой стороны,
6 + 6 + 6 = 18.
666 = 2·3·3·37;
2 + 3 + 3 + 3 + 7 = 18.
Трепещите, каббалисты и приспешники темных сил! Жаль, что числа Смита имеют столь прозаическое название и обязаны своим появлением на свет телефонному номеру.
Американский физик и математик венгерского происхождения Джон фон Нейман (1903–1957) благодаря некоторым чертам своего характера также стал героем множества анекдотов. В одном из самых популярных рассказывается о его впечатляющих способностях к вычислениям и любопытной привычке действовать не так, как простые смертные. Задача о двух поездах и мухе стала уже классической, и звучит она так: предположим, что два поезда, А и В, отправляются навстречу друг другу из точек и В соответственно. Допустим, что расстояние между A и В равно 100 км, скорость поездов — 50 км/ч. В момент отправления муха, сидевшая на локомотиве поезда А, летит в точку В со скоростью 75 км/ч. Она летит быстрее, чем движется поезд А, и в конце концов встречается с поездом В. Достигнув поезда В, она сразу же поворачивает обратно и летит в сторону А. Когда она достигает поезда А, она вновь поворачивает обратно и летит в сторону поезда В, и так далее. Полет мухи закончится, когда оба поезда встретятся. Какое расстояние к этому времени пролетит муха? После трудоемких вычислений студент-отличник показал бы, что длина пути равна сумме следующей бесконечной геометрической прогрессии:
