Том 3. Простые числа. Долгая дорога к бесконечности - [5]
Существуют ли простые числа сами по себе, вне человеческого разума? Этот вопрос занимал немецкого физика Генриха Рудольфа Герца.
* * *
КОСТЬ ИШАНГО
Кость Ишанго, возможно, берцовая кость бабуина, с первого взгляда выглядит как некий инструмент. Она имеет рукоятку, за которую ее удобно держать, и заостренный кристалл кварца на конце. Она была найдена у истоков Нила, на границе между Угандой и Демократической Республикой Конго, и принадлежала первобытному племени, погребенному извержением вулкана. Этому инструменту около 20000 лет.
Кость Ишанго выставлена в бельгийском музее естественных наук в Брюсселе.
* * *
На кости имеются насечки в виде коротких прямых линий. Их детальное изучение привело к гипотезе, что эта кость не инструмент, а численная система для помощи в счете. В таком случае вполне вероятно, что кварцевый наконечник использовался для написания неких цифр. Другими словами, эта кость являлась примитивным калькулятором. Расположение насечек по столбцам предполагает операции сложения и умножения в системе счисления с основанием 12. Все числа справа — нечетные, но самое удивительное, что все числа слева являются простыми из промежутка от 10 до 20. Маловероятно, что эти знаки нанесены случайно, скорее всего, они указывают на существование некоторого серьезного метода вычислений.
Кость Ишанго в виде диаграммы, показывающей распределение насечек по трем столбцам. Кость, вероятно, использовалась для выполнения математических расчетов.
Напомним, что понятие простого числа требует абстрактного мышления, выходящего за рамки простого счета.
Вопрос о существовании математических истин независимо от человека имеет третий компромиссный ответ, который допускает возможность того, что действительно существуют математические идеи, которые могут быть открыты, но они являются «психическими понятиями», предопределенными нашим генетическим наследием. Если это так, некоторые примитивные формы этих понятий должны существовать в природе. Например, существует несколько видов животных, которые совершенно точно могут считать. Одиночные осы могут подсчитывать количество живых гусениц, которых они оставляют рядом со своими яйцами в качестве пищи для вылупившихся личинок: это всегда в точности 5, 12 или 24. У ос рода Eumenes мы встречаем еще более удивительные примеры. Оса знает, какая особь вылупится из отложенного яйца: мужская или женская. Неясно, как ей удается установить пол будущего потомства, так как норки, в которых она откладывает яйца, совершенно одинаковы. Но самое удивительное, что оса оставляет пять гусениц рядом с яйцом мужской особи и десять — рядом с яйцом женской особи. Причина такого различия в том, что женские особи вырастают до гораздо больших размеров, чем мужские.
Для иллюстрации существования в природе более сложных понятий, таких как простые числа, можно привести любопытный пример некоторых видов так называемых периодических цикад, а именно Magicicada septendecim и Magicicada tredecim.
Названия видов septendecim и tredecim означают соответственно 17- и 13-летний жизненные циклы насекомых. Оба числа являются простыми, и зоологи разработали различные теории для объяснения выбора простого числа для жизненного цикла этих насекомых.
Возьмем, к примеру, вид Magicicada septendecim. Личинка цикады живет под землей и питается соками корней деревьев. Она проводит 17 лет в таком состоянии, а затем выходит на поверхность, чтобы превратиться во взрослое насекомое. Эта стадия длится всего несколько дней, во время которых цикада размножается и после этого умирает. Теория, объясняющая такой жизненный цикл цикады, выглядит следующим образом: взрослое насекомое защищается от паразита с жизненным циклом два года.
Если бы жизненный цикл цикады был кратен 2, оба вида встречались бы каждые 2, 4, 8 лет и так далее. Однако если жизненный цикл цикады является достаточно большим простым числом, например, 17, паразит и цикада могут встретиться раз в 34 года, так как 34 — первое число, кратное 17 и 2. Если бы, к примеру, жизненный цикл паразита составлял 16 лет, они бы могли встретиться раз в 16 х 17 = 272 года.
Вполне вероятно, что со временем при исследовании поведения животных найдутся еще примеры видов, которые обладают умением считать. Нас не должна смущать простота приведенных примеров, ибо факт остается фактом: несмотря на то что математические понятия, такие как простые числа, являются творением человека, исследователи в разных областях науки могут привести примеры существования этих понятий в природе независимо от нас.
Самки некоторых одиночных ос откладывают яйца в норках, где также складывают несколько парализованных гусениц, которые будут служить пищей для личинок осы после того, как те вылупятся. Самое удивительное, что эти осы знают, из каких яиц вылупятся мужские особи, а из каких женские, и оставляют для них определенное количество гусениц.
Поиск простых чисел всегда был сложной задачей. Один из первых известных методов приписывают Эратосфену из Кирены (273–194 до н. э.), древнегреческому математику, астроному и географу, который также заведовал Александрийской библиотекой. Метод получил название решета Эратосфена. Давайте посмотрим, как с помощью этого метода можно найти простые числа в первой сотне натуральных чисел.
