Том 3. Простые числа. Долгая дорога к бесконечности - [2]
Заметим, однако, что математическое понятие взаимно однозначного соответствия между двумя множествами появилось лишь в XIX в., поэтому было бы странным называть такой процесс подсчета наиболее естественным. Так что, используя слова «естественный» или «натуральный», по крайней мере в этом контексте, мы должны сделать некоторые разъяснения.
Можно предположить, что естественным следует называть такой мыслительный процесс, который не требует предварительных размышлений. Однако нельзя быть уверенным в том, что система подсчета с использованием мешка камней не потребовала предварительных рассуждений. В любом случае естественный мыслительный процесс может быть охарактеризован легкостью исполнения и эффективностью в достижении цели. Использовать количество размышлений для определения естественности мыслительного процесса не совсем приемлемо. В этом контексте лучше говорить об уровнях абстракции.
* * *
ВОСПРИЯТИЕ ЧИСЕЛ
Когда китайцы говорят о десяти тысячах звезд на небе, это не значит, что они их все посчитали. Это просто способ выразить очень большое число. Можно подумать, что для выражения такого понятия лучше подходит число миллиард. Но мы должны с самого начала учитывать, что наше непосредственное восприятие чисел ограничено пятью единицами. Если кто-то показывает пять пальцев одной руки и три пальца другой, мы практически сразу определяем общее количество в восемь пальцев, но для нас это почти что шифр. Когда же восемь объектов разложены на столе, нам придется посчитать их или визуально разделить на маленькие группы, чтобы узнать их количество. Поэтому нам очень трудно представить миллион объектов, если у нас нет непосредственного соответствия. Мы знаем, что значит выиграть миллион фунтов в лотерею, потому что мы знаем цену деньгам, и мы быстро проделываем мысленные расчеты, что на них можно купить. Но существует большая разница между таким пониманием и четким представлением о том, как выглядит выложенный в ряд миллион монет в один фунт (они покроют расстояние в 22,5 км).
С одного взгляда наш мозг способен распознать до пяти объектов. При больших количествах для подсчета приходится использовать другие стратегии.
* * *
Системы счета возникли на основе такого мощного процесса абстракции, который, по мнению многих специалистов, наряду с изучением языка является одним из самых серьезных достижений человечества за всю историю. Когда мы говорим «три», мы можем иметь в виду три овцы, три камня, три дома, три дерева, три чего угодно. Если бы приходилось использовать разные слова для описания количества разных объектов, первобытное сельскохозяйственное общество с самого начала было бы погребено под лавиной словесной информации. «Три» является абстрактным понятием, чисто ментальным образом, для которого требуется только одно слово и один знак, чтобы служить средством коммуникации в социальной группе.
Напомним, кстати, что повседневный язык также включает в себя процесс абстракции. Когда ребенок впервые узнает слово «стул», он называет им исключительно тот объект, на котором обычно сидит, но постепенно он понимает, что то же самое слово может относиться не только к одному высокому стулу, но и ко многим другим объектам с той же функцией. Процесс абстракции продолжается и в один прекрасный день переходит на более высокий уровень: появляется слово «сиденье», которое относится не только ко всем стульям, но и к скамейкам, табуреткам и всему, на чем можно сидеть.
Многие не любят математику, объясняя это тем, что она слишком абстрактна, как будто процесс абстракции является чем-то искусственным и неестественным.
Но это не так. Если бы мы не обладали способностью к абстракции, мы не смогли бы даже выработать общий язык. Иногда абстрактное мышление называют также непрактичным, но и это не соответствует действительности. Лишь наиболее абстрактный метод является наиболее практичным. Хорошим примером этого служит позиционная система счисления, которую мы используем в повседневной жизни самым «естественным» образом. В непозиционной системе символ, представляющий число, имеет одно и то же значение независимо от позиции, которую он занимает.
Например, в римской системе счисления число пять обозначается буквой V и имеет одно и то же значение в выражениях XV, XVI и VII. Однако если бы римская система была позиционной системой счисления, то в первом выражении символ V означал бы пять единиц, во втором — 50, а в третьем — 500.
Открытие позиционной системы счисления оказалось не совсем простым делом.
На это потребовалось более тысячи лет. Числа имеют долгую и интересную историю, но это не главная тема нашей книги. Будем считать, что числа нам уже известны и что, кроме того, мы уже знакомы с основными операциями сложения, вычитания, умножения и деления.
Цивилизация майя — одна из немногих древних цивилизаций, применявших позиционную систему счисления. Майя использовали только три символа: раковина обозначала ноль, точка — каждую единицу, тире — пять единиц.
