Том 20. Творчество в математике. По каким правилам ведутся игры разума - [23]
Следствие 1: Если m и n — взаимно простые, то на сетке (m, n) имеется единственный бесконечный цикл.
Следствие 2: На сетке размером (m, n) число петель равняется 2 х (m + n).
При посадке деревьев в шахматном порядке саженцы располагаются в вершинах воображаемых равносторонних треугольников — это гарантирует, что все деревья будут располагаться друг от друга на одинаковом расстоянии:
Если математику дать задачу о построении подобной сетки с треугольными ячейками, он, скорее всего, начнет искать способ построения равносторонних треугольников, применимый на практике, и буквально со стопроцентной вероятностью предложит евклидово решение, приведенное в предложении 1 книги I «Начал».
Предложение 1 из «Начал» Евклида: построение равностороннего треугольника на данном отрезке АВ.
Для этого построения нужно заменить циркуль веревкой, длина которой равна длине стороны искомого треугольника. Садовод должен обходить участок, проводя дуги окружностей и отмечая точки их пересечения.
Сначала он отметит точки на одной прямой, равноудаленные друг от друга:
Затем, использовав каждую из этих точек в качестве центра окружности, он проведет дуги, которые пересекутся в вершинах равносторонних треугольников:
В результате садовод определит, где нужно посадить деревья.
Так эту задачу решил бы математик. Однако, согласно Жиль-Альберу (1999), садоводы строят сетку из треугольных ячеек следующим образом:
«Посадка в шахматном порядке <…>. Чтобы определить, где следует сажать деревья, достаточно, чтобы один рабочий взял в руки рулетку и встал там, где нужно посадить первое дерево. Второй рабочий, взяв в руки конец рулетки, должен отойти на расстояние, равное желаемому расстоянию между деревьями (например, 5 м) и отмотать ленту длиной в два раза больше чем требуется (если деревья планируется посадить на расстоянии 5 м друг от друга, рабочий должен отмотать 10 м ленты рулетки). Третий рабочий должен взяться за середину ленты рулетки и отойти в сторону, натягивая ленту. Когда лента рулетки натянется полностью, третий рабочий окажется точно в том месте, где нужно посадить третье дерево».
Здесь равносторонний треугольник понимается как частный случай равнобедренного. Именно на этом примере можно оценить справедливость фразы: теоретическое решение практической задачи обычно является не лучшим практическим решением. Вот и в этом случае решение, предложенное профессиональным математиком, на практике не применяется. С математической точки зрения, напротив, практика не имеет значения. Не имеет значения и то, что в практическом решении равносторонний треугольник понимается иначе — для математика это не новость.
Тем не менее практически решил эту задачу не математик, а садовод. И практическое решение математической задачи — это результат математического творчества.
При обрезке деревьев обычно удаляются ветви нижней его трети, и лесничему нужно на глаз определить эту часть дерева. Является ли треть того, что мы видим, третьей частью того, на что мы смотрим? Как правило, это не так:
Визуальное и реальное деление предмета на три части совпадают, только когда мы рассматриваем дугу окружности, находясь в ее центре. Как же лесничий решит задачу? Как визуально определить треть предмета, на который он смотрит?
Чаще всего точная высота дерева нам неизвестна. Если А>1 — угол зрения, под которым можно увидеть все дерево, а — уровень глаз, d — расстояние до основания дерева, то угол А>3 определяющий нижнюю треть дерева, вычисляется по формуле:
В чем заключается суть вопроса? В том, что видимая величина угла меняется в зависимости от точки, из которой мы смотрим на него. Видимая середина отрезка будет соответствовать его истинной середине только в том случае, если мы будем находиться на серединном перпендикуляре к этому отрезку:
При делении отрезка на три части подобная ситуация невозможна. Если бы она была возможна, то существовала бы точка X плоскости, такая, что при взгляде из нее трети Р>1Р>2, Р>2Р>3 и P>3P>4 отрезка Р>1Р>4 были бы видны под одним и тем же углом (см. рисунок ниже). Следовательно, так как из точки X можно было бы увидеть под одним и тем же углом две половины P>1P>3 точка X должна была бы располагаться на серединном перпендикуляре к отрезку P>1P>3 (то есть на прямой, проходящей через Р>2 и перпендикулярной P>1P>3). Это же было бы справедливо для серединного перпендикуляра к отрезку Р>2Р>4 (прямой, проходящей через Р>3 и перпендикулярной Р>2Р>4). Таким образом, точка X должна была бы располагаться одновременно на двух серединных перпендикулярах, которые параллельны между собой, так как они перпендикулярны одному и тому же отрезку P>1P>4, что невозможно:
За исключением случая, когда мы смотрим на дугу окружности, находясь в ее центре, треть того, что мы видим, — вовсе не треть того, на что мы смотрим.
Округление чисел выполняется по следующим правилам: если последний знак десятичной записи числа меньше 5, этот знак заменяется на 0, если же последний знак больше 5, то предыдущий знак увеличивается на единицу:
В этой книге пойдет речь об этноматематике, то есть об особенностях методов счисления, присущих разным народам. Хотя история современной математики — часть европейского культурного наследия, опирается она на неакадемические пласты, существовавшие задолго до возникновения современной культуры. Этноматематика охватывает весь перечень математических инструментов, созданных разными народами для решения определенных задач. Конечно, она далека от знакомой нам академической науки и, скорее, опирается на практический опыт, а потому вдвойне интересна.
Книга посвящена жизни и творчеству выдающегося советского кристаллографа, основоположника и руководителя новейших направлений в отечественной науке о кристаллах, основателя и первого директора единственного в мире Института кристаллографии при Академии наук СССР академика Алексея Васильевича Шубникова (1887—1970). Классические труды ученого по симметрии, кристаллофизике, кристаллогенезису приобрели всемирную известность и открыли новые горизонты в науке. А. В. Шубников является основателем технической кристаллографии.
Нильс Бор — одна из ключевых фигур квантовой революции, охватившей науку в XX веке. Его модель атома предполагала трансформацию пределов знания, она вытеснила механистическую модель классической физики. Этот выдающийся сторонник новой теории защищал ее самые глубокие физические и философские следствия от скептиков вроде Альберта Эйнштейна. Он превратил родной Копенгаген в мировой центр теоретической физики, хотя с приходом к власти нацистов был вынужден покинуть Данию и обосноваться в США. В конце войны Бор активно выступал за разоружение, за интернационализацию науки и мирное использование ядерной энергии.
Джеймс Клерк Максвелл был одним из самых блестящих умов XIX века. Его работы легли в основу двух революционных концепций следующего столетия — теории относительности и квантовой теории. Максвелл объединил электричество и магнетизм в коротком ряду элегантных уравнений, представляющих собой настоящую вершину физики всех времен на уровне достижений Галилея, Ньютона и Эйнштейна. Несмотря на всю революционность его идей, Максвелл, будучи очень религиозным человеком, всегда считал, что научное знание должно иметь некие пределы — пределы, которые, как ни парадоксально, он превзошел как никто другой.
«Занимательное дождеведение» – первая книга об истории дождя.Вы узнаете, как большая буря и намерение вступить в брак привели к величайшей охоте на ведьм в мировой истории, в чем тайна рыбных и разноцветных дождей, как люди пытались подчинить себе дождь танцами и перемещением облаков, как дождь вдохновил Вуди Аллена, Рэя Брэдбери и Курта Кобейна, а Даниеля Дефо сделал первым в истории журналистом-синоптиком.Сплетая воедино научные и исторические факты, журналист-эколог Синтия Барнетт раскрывает удивительную связь между дождем, искусством, человеческой историей и нашим будущим.
Эта книга – захватывающий триллер, где действующие лица – охотники-ученые и ускользающие нейтрино. Крошечные частички, которые мы называем нейтрино, дают ответ на глобальные вопросы: почему так сложно обнаружить антиматерию, как взрываются звезды, превращаясь в сверхновые, что происходило во Вселенной в первые секунды ее жизни и даже что происходит в недрах нашей планеты? Книга известного астрофизика Рэя Джаявардхана посвящена не только истории исследований нейтрино. Она увлекательно рассказывает о людях, которые раздвигают горизонты человеческих знаний.
Можно ли выразить красоту с помощью формул и уравнений? Существует ли в мире единый стандарт прекрасного? Возможно ли измерить гармонию с помощью циркуля и линейки? Математика дает на все эти вопросы утвердительный ответ. Золотое сечение — ключ к пониманию секретов совершенства в природе и искусстве. Именно соблюдение «божественной пропорции» помогает художникам достигать эстетического идеала. Книга «Золотое сечение. Математический язык красоты» открывает серию «Мир математики» — уникальный проект, позволяющий читателю прикоснуться к тайнам этой удивительной науки.
Какова взаимосвязь между играми и математикой? Математические игры — всего лишь развлечение? Или их можно использовать для моделирования реальных событий? Есть ли способ заранее «просчитать» мысли и поведение человека? Ответы на эти и многие другие вопросы вы найдете в данной книге. Это не просто сборник интересных задач, но попытка объяснить сложные понятия и доказать, что серьезная и занимательная математика — две стороны одной медали.
Физика, астрономия, экономика и другие точные науки основаны на математике — это понятно всем. Но взаимосвязь математики и творчества не столь очевидна. А ведь она куда глубже и обширнее, чем думают многие из нас. Математика и творчество развивались параллельно друг другу на протяжении веков. (Например, открытие математической перспективы в эпоху Возрождения привело к перевороту в живописи.) Эта книга поможет читателю посмотреть на некоторые шедевры живописи и архитектуры «математическим взглядом» и попробовать понять замысел их создателей.
Число π, пожалуй, самое удивительное и парадоксальное в мире математики. Несмотря на то что ему посвящено множество книг, оно по праву считается самым изученным и сказать о нем что-то новое довольно сложно, оно по-прежнему притягивает пытливые умы исследователей. Для людей, далеких от математики, число π окружено множеством загадок. Знаете ли вы, для чего ученые считают десятичные знаки числа π? Зачем нам необходим перечень первого миллиарда знаков π? Правда ли, что науке известно все о числе π и его знаках? На эти и многие другие вопросы поможет найти ответ данная книга.