Том 20. Творчество в математике. По каким правилам ведутся игры разума - [22]

Шрифт
Интервал

В теореме Пифагора упоминаются площади, однако она традиционно используется для вычисления длин. Всегда доказывается прямая теорема (=>), обратная (<=) теорема не доказывается никогда, однако порой она также находит применение. В «Началах» обратная теорема приведена в следующем, 48-м предложении книги I.

* * *

С точки зрения математики Земля представляет собой сферу радиусом около 6370 километров. Горизонт — это наиболее удаленная часть поверхности планеты, видимая глазом. Создадим геометрическую модель этой ситуации. В ней горизонт определяется положением касательной к окружности.



Пусть Н(х) — расстояние до видимого горизонта, х — наш рост (точнее, расстояние от поверхности земли до уровня глаз), R — радиус Земли. Получим прямо угольный треугольник, для которого можно применить теорему Пифагора:


Горизонт, видимый человеком при х = 1,7 м, находится от него расстоянии Н = 4653,8 м (R = 6370 км).

Можно ли считать решение этой задачи математическим творчеством?

Создали ли мы что-то новое в математике? Мы применили известную теорему и получили формулу, которой ранее не существовало. Это первый, но не единственный и далеко не самый важный итог математического творчества, связанный с горизонтом. Суть творчества в данном случае описывается вопросом: сколько раз мы смотрели на горизонт и не задумывались о том, какое расстояние отделяет нас от него?

На втором плане находится созданная нами геометрическая модель, позволяющая применить математическую теорему. Только при взгляде на ситуацию с математической точки зрения мы представляем Землю как сферу, луч света — как прямую, наше тело — как кратчайшее продолжение радиуса сферы. Кроме того, мы свели трехмерную реальность к модели на плоскости, а сферу — к окружности.

* * *

ВБЛИЗИ ГОРИЗОНТА

В одном из своих произведений писатель Эдуардо Галеано расположил на горизонте утопию:

«Для чего нужна утопия? Она находится на горизонте. Если я подойду к горизонту на десять шагов, он отодвинется на десять шагов от меня. Для этого и нужен горизонт, — чтобы научиться ходить».

С точки зрения математики эта цитата абсолютно верна, так как шаги откладываются на поверхности сферы:



* * *

Циклические узлы

В своей книге «Дух порядка. Исследование психологии декоративных искусств» австрийский историк искусства Эрнст Гомбрих описывает кельтские узлы. Их особенность заключается в том, что нить проходит через все выделенные точки на каждой стороне сетки с квадратными ячейками и возвращается в исходное положение.

Бесконечный узел — это узел, начало и конец которого совпадают:



Кельтские узлы не всегда являются бесконечными, или циклическими:



Возникает вопрос: почему одни узлы бесконечные, а другие — нет? Перед тем как начать поиск ответа, рассмотрим, как строятся такие узлы. Их основой является сетка с квадратными ячейками, на сторонах которых выбирается последовательность точек, через которые проходит нить узла:



За счет этого узлы можно описывать числом вершин на каждой из сторон сетки, через которые проходит нить узла. Первый из улов, представленных выше, — узел 3 x 2, второй — 3 x 3, последний — 6 x 4. Узел 3 x 2 располагается на сетке размером 6 х 4 и проходит через вершины 1–3–3 в горизонтальных рядах и через вершины 1–3 — в вертикальных рядах. Сетка 6 x 4 понимается как (1 + 2·2 + 1) х (1 + 2 + 1). Остальные узлы описываются аналогично. Узел 3 x 3 располагается на сетке 6 х 6 = (1 + 2·2 + 1) х (1 + 2·2 + 1), узел 6 x 4 — на сетке 12 х 8 = (1 + 2·5 + 1) х (1 + 2·3 +1).

Можно сказать, что ответ на вопрос, будет ли узел бесконечным, зависит от числа вершин, через которые проходит нить на каждой стороне сетки. Узел 3 х 2 является бесконечным, так как образован одной нитью. Узел 3 х 3 не является бесконечным, так как состоит из трех нитей. Узел 6 x 4 также не является бесконечным и состоит из двух нитей.

В чем же ключ к решению задачи? Нить смещается влево, вправо, вверх и вниз. Если бы мы не ограничивались одним прямоугольником, а продолжили узел дальше по вертикали и по горизонтали, то смогли бы понять суть проблемы. Рассмотрим узел (3 х 2):



Мы начинаем с точки 1, затем, сместившись на две единицы вправо, попадаем в 3, затем в 2 и наконец снова в 1. Получается числовая последовательность, которая циклически повторяется до бесконечности:

[1, 3, 2] = 1, 3, 2, 1, 3, 2, 1, 3, 2, 1…

На сетке размером (4 х 2) требуется два таких цикла:


В первом случае мы перепрыгиваем через две клетки. Полный цикл завершается после шести шагов, когда мы возвращаемся в исходную точку 1. Мы обошли все цифры 1, 2 и 3. Во втором случае для обхода всех цифр требуется два цикла:



Почему? Потому что 4 делится на 2. Если мы начинаем цикл в точке 1, то мы всегда будем проходить через точки 1 и 3 и никогда — через 2 и 4. Для этого потребуется новый цикл с началом в точке 2. В предыдущем случае цикл завершается после 6 = НОК (3, 2) этапов, и требуется всего один цикл, так как НОД (3, 2) = 1.

Это же происходит и в примере с сеткой 6 x 4, где НОД (6, 4) = 2 цикла, и на сетке 3 х 3, где число циклов равно 3 = НОД (3, 3). Подведем итог.

Теорема: На сетке размером (


Еще от автора Микель Альберти
Том 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света

В этой книге пойдет речь об этноматематике, то есть об особенностях методов счисления, присущих разным народам. Хотя история современной математики — часть европейского культурного наследия, опирается она на неакадемические пласты, существовавшие задолго до возникновения современной культуры. Этноматематика охватывает весь перечень математических инструментов, созданных разными народами для решения определенных задач. Конечно, она далека от знакомой нам академической науки и, скорее, опирается на практический опыт, а потому вдвойне интересна.


Рекомендуем почитать
Алексей Васильевич Шубников (1887—1970)

Книга посвящена жизни и творчеству выдающегося советского кристаллографа, основоположника и руководителя новейших направлений в отечественной науке о кристаллах, основателя и первого директора единственного в мире Института кристаллографии при Академии наук СССР академика Алексея Васильевича Шубникова (1887—1970). Классические труды ученого по симметрии, кристаллофизике, кристаллогенезису приобрели всемирную известность и открыли новые горизонты в науке. А. В. Шубников является основателем технической кристаллографии.


Квантовая модель атома. Нильс Бор. Квантовый загранпаспорт

Нильс Бор — одна из ключевых фигур квантовой революции, охватившей науку в XX веке. Его модель атома предполагала трансформацию пределов знания, она вытеснила механистическую модель классической физики. Этот выдающийся сторонник новой теории защищал ее самые глубокие физические и философские следствия от скептиков вроде Альберта Эйнштейна. Он превратил родной Копенгаген в мировой центр теоретической физики, хотя с приходом к власти нацистов был вынужден покинуть Данию и обосноваться в США. В конце войны Бор активно выступал за разоружение, за интернационализацию науки и мирное использование ядерной энергии.


Магнетизм высокого напряжения. Максвелл. Электромагнитный синтез

Джеймс Клерк Максвелл был одним из самых блестящих умов XIX века. Его работы легли в основу двух революционных концепций следующего столетия — теории относительности и квантовой теории. Максвелл объединил электричество и магнетизм в коротком ряду элегантных уравнений, представляющих собой настоящую вершину физики всех времен на уровне достижений Галилея, Ньютона и Эйнштейна. Несмотря на всю революционность его идей, Максвелл, будучи очень религиозным человеком, всегда считал, что научное знание должно иметь некие пределы — пределы, которые, как ни парадоксально, он превзошел как никто другой.


Знание-сила, 2006 № 12 (954)

Ежемесячный научно-популярный и научно-художественный журнал.


Занимательное дождеведение: дождь в истории, науке и искусстве

«Занимательное дождеведение» – первая книга об истории дождя.Вы узнаете, как большая буря и намерение вступить в брак привели к величайшей охоте на ведьм в мировой истории, в чем тайна рыбных и разноцветных дождей, как люди пытались подчинить себе дождь танцами и перемещением облаков, как дождь вдохновил Вуди Аллена, Рэя Брэдбери и Курта Кобейна, а Даниеля Дефо сделал первым в истории журналистом-синоптиком.Сплетая воедино научные и исторические факты, журналист-эколог Синтия Барнетт раскрывает удивительную связь между дождем, искусством, человеческой историей и нашим будущим.


Охотники за нейтрино. Захватывающая погоня за призрачной элементарной частицей

Эта книга – захватывающий триллер, где действующие лица – охотники-ученые и ускользающие нейтрино. Крошечные частички, которые мы называем нейтрино, дают ответ на глобальные вопросы: почему так сложно обнаружить антиматерию, как взрываются звезды, превращаясь в сверхновые, что происходило во Вселенной в первые секунды ее жизни и даже что происходит в недрах нашей планеты? Книга известного астрофизика Рэя Джаявардхана посвящена не только истории исследований нейтрино. Она увлекательно рассказывает о людях, которые раздвигают горизонты человеческих знаний.


Золотое сечение. Математический язык красоты

Можно ли выразить красоту с помощью формул и уравнений? Существует ли в мире единый стандарт прекрасного? Возможно ли измерить гармонию с помощью циркуля и линейки? Математика дает на все эти вопросы утвердительный ответ. Золотое сечение — ключ к пониманию секретов совершенства в природе и искусстве. Именно соблюдение «божественной пропорции» помогает художникам достигать эстетического идеала. Книга «Золотое сечение. Математический язык красоты» открывает серию «Мир математики» — уникальный проект, позволяющий читателю прикоснуться к тайнам этой удивительной науки.


Дилемма заключенного и доминантные стратегии. Теория игр

Какова взаимосвязь между играми и математикой? Математические игры — всего лишь развлечение? Или их можно использовать для моделирования реальных событий? Есть ли способ заранее «просчитать» мысли и поведение человека? Ответы на эти и многие другие вопросы вы найдете в данной книге. Это не просто сборник интересных задач, но попытка объяснить сложные понятия и доказать, что серьезная и занимательная математика — две стороны одной медали.


Том 16. Обман чувств. Наука о перспективе

Физика, астрономия, экономика и другие точные науки основаны на математике — это понятно всем. Но взаимосвязь математики и творчества не столь очевидна. А ведь она куда глубже и обширнее, чем думают многие из нас. Математика и творчество развивались параллельно друг другу на протяжении веков. (Например, открытие математической перспективы в эпоху Возрождения привело к перевороту в живописи.) Эта книга поможет читателю посмотреть на некоторые шедевры живописи и архитектуры «математическим взглядом» и попробовать понять замысел их создателей.


Секреты числа Пи. Почему неразрешима задача о квадратуре круга

Число π, пожалуй, самое удивительное и парадоксальное в мире математики. Несмотря на то что ему посвящено множество книг, оно по праву считается самым изученным и сказать о нем что-то новое довольно сложно, оно по-прежнему притягивает пытливые умы исследователей. Для людей, далеких от математики, число π окружено множеством загадок. Знаете ли вы, для чего ученые считают десятичные знаки числа π? Зачем нам необходим перечень первого миллиарда знаков π? Правда ли, что науке известно все о числе π и его знаках? На эти и многие другие вопросы поможет найти ответ данная книга.