Том 20. Творчество в математике. По каким правилам ведутся игры разума - [21]
В этой главе мы расскажем о математическом творчестве в самых разных областях, большинство из которых далеки от академической среды. Приведенные нами примеры — результат того, что кто-то задал новые вопросы, попытался найти иное решение, придать новое значение уже известным понятиям и применить уже известные идеи в новом контексте. Творчество — это жизнь. Если мы задаемся вопросами из области математики, то мы творим математику.
С чего начать? В чем секрет математического творчества? Поиски ответов на эти вопросы можно начать в повседневной жизни. Мы рассмотрим некоторые явления, с которыми сталкиваются все, но лишь немногие подошли к ним с математической точки зрения. Далее мы отойдем от реальности и в итоге окажемся в чисто математическом мире.
Для того чтобы рассмотреть интересующее нас явление, объект или процесс с точки зрения математики, нужно задать объективные вопросы, ответы на которые будут определяться не нашими предпочтениями, вкусами или соображениями удобства, а требованиями четкости и измеримости. Так будет сделан первый выбор, касающийся точки зрения, которую следует принять.
Первое, что мы делаем после пробуждения утром, — это идем в ванную, чтобы привести себя в порядок. Мы смотримся в зеркало, когда умываемся, бреемся, накладываем макияж, стрижемся. Мы смотримся в зеркало каждый день. Чего мы хотим от него? Совсем немногого: мы всего лишь хотим увидеть в нем свое лицо полностью. После завтрака и перед тем, как закрыть за собой дверь и отправиться по делам, мы мельком смотрим в зеркало, чтобы проверить, все ли в порядке. Чего мы хотим от зеркала на этот раз? Чтобы мы отразились в нем в полный рост.
Сколько раз мы совершали эти действия и сколько раз мы задавались вопросом, какие размеры должно иметь зеркало, чтобы в нем полностью отразилось наше лицо или мы сами в полный рост? Мы задаемся этим вопросом крайне редко, если вообще когда-нибудь думаем об этом. Представьте, что вы стоите перед зеркалом, в котором вы отражаетесь в полный рост. Какой должна быть минимальная высота такого зеркала? Начнем с того, что изобразим эту ситуацию на схеме с помощью точек и отрезков:
Схема показывает, какими должны быть минимальные размеры зеркала. Нужно определить, каким должно быть отношение размеров отражающей поверхности и отражающегося в ней лица. Для этого сделаем схему еще более условной: проведем вспомогательные линии, которые помогут решить задачу, и обозначим основные точки буквами:
Так как отражение R'S' симметрично исходному отрезку RS, и изображение в зеркале расположено на том же расстоянии от зеркала, что и оригинал, но по другую его сторону, получим RX = XR'. Кроме того, RX = RR'/2.
Помимо этого, треугольники OAY и OR'О' подобны, так как два их угла равны. Аналогично для треугольников OYB и OO'S'. Так как RX = RR'/2, коэффициент подобия этих треугольников равен 2, поэтому AY = R'O'/2 = RO/2, а также YB = O'S'/2 = OS/2.
Иными словами, АВ = AY + YB = RO/2 + OS/2 = (RO + OS)/2 = RS/2, так что высота зеркала должна быть равной минимум половине высоты лица. Высота, на которой следует повесить зеркало, равна BZ = YZ/2, то есть половине расстояния от глаз до подбородка. Аналогично, высота зеркала, в котором мы будем отражаться полностью, должна быть равна половине нашего роста, и такое зеркало следует повесить на высоте, равной половине расстояния от глаз до пола.
Выйдя из дома, некоторые из нас имеют счастливую возможность пойти на пляж и насладиться видом горизонта, глядя вдаль, на самый край земли, покуда хватает глаз. Кто-нибудь хоть раз, глядя на горизонт, думал о математике? Как правило, любуясь рассветом или закатом, мы задаемся другими вопросами: мы размышляем о прошлом и будущем, о красоте природы, о рыбаках, которые возвращаются из моря с дневным уловом, о том, что скрывается за линией горизонта, куда неожиданно быстро опускается горящее солнце, озаряющее наши жизни…
Но если мы посмотрим на горизонт взглядом математика, у нас возникнут совсем другие вопросы. Мы заметим, что когда мы наклоняемся, горизонт приближается, когда мы поднимаемся — горизонт отдаляется. Если мы сделаем полный оборот вокруг себя, то увидим, что горизонт круглый, поэтому мореходы в древности считали, что Земля круглая: в море, далеко от берега, они видели вокруг себя лишь круглый горизонт. Какое расстояние отделяет нас от горизонта? Каков его радиус? Какое расстояние отделяет нас от судна, которое виднеется на горизонте?
Это первый шаг, который нужно сделать на пути к математическому творчеству: нужно задаться вопросами о мире, где мы живем, о том, что мы видим или делаем, и ответы на эти вопросы должны выходить за рамки субъективного и стремиться к чему-то объективному. По сути, нужно взглянуть на мир с научной точки зрения.
* * *
ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
Треугольник abc прямоугольный <=> с>2 = а>2 + Ь>2.
Это самая известная математическая теорема, которая ежедневно доказывается во множестве школ по всему миру. Однако доказательство, которое обычно приводится в учебниках, принадлежит не Евклиду (доказательство Евклида приведено в предложении 47 книги I «Начал»), а основано на разбиении квадрата на несколько фигур подобно головоломке.
В этой книге пойдет речь об этноматематике, то есть об особенностях методов счисления, присущих разным народам. Хотя история современной математики — часть европейского культурного наследия, опирается она на неакадемические пласты, существовавшие задолго до возникновения современной культуры. Этноматематика охватывает весь перечень математических инструментов, созданных разными народами для решения определенных задач. Конечно, она далека от знакомой нам академической науки и, скорее, опирается на практический опыт, а потому вдвойне интересна.
Книга посвящена жизни и творчеству выдающегося советского кристаллографа, основоположника и руководителя новейших направлений в отечественной науке о кристаллах, основателя и первого директора единственного в мире Института кристаллографии при Академии наук СССР академика Алексея Васильевича Шубникова (1887—1970). Классические труды ученого по симметрии, кристаллофизике, кристаллогенезису приобрели всемирную известность и открыли новые горизонты в науке. А. В. Шубников является основателем технической кристаллографии.
Нильс Бор — одна из ключевых фигур квантовой революции, охватившей науку в XX веке. Его модель атома предполагала трансформацию пределов знания, она вытеснила механистическую модель классической физики. Этот выдающийся сторонник новой теории защищал ее самые глубокие физические и философские следствия от скептиков вроде Альберта Эйнштейна. Он превратил родной Копенгаген в мировой центр теоретической физики, хотя с приходом к власти нацистов был вынужден покинуть Данию и обосноваться в США. В конце войны Бор активно выступал за разоружение, за интернационализацию науки и мирное использование ядерной энергии.
Джеймс Клерк Максвелл был одним из самых блестящих умов XIX века. Его работы легли в основу двух революционных концепций следующего столетия — теории относительности и квантовой теории. Максвелл объединил электричество и магнетизм в коротком ряду элегантных уравнений, представляющих собой настоящую вершину физики всех времен на уровне достижений Галилея, Ньютона и Эйнштейна. Несмотря на всю революционность его идей, Максвелл, будучи очень религиозным человеком, всегда считал, что научное знание должно иметь некие пределы — пределы, которые, как ни парадоксально, он превзошел как никто другой.
«Занимательное дождеведение» – первая книга об истории дождя.Вы узнаете, как большая буря и намерение вступить в брак привели к величайшей охоте на ведьм в мировой истории, в чем тайна рыбных и разноцветных дождей, как люди пытались подчинить себе дождь танцами и перемещением облаков, как дождь вдохновил Вуди Аллена, Рэя Брэдбери и Курта Кобейна, а Даниеля Дефо сделал первым в истории журналистом-синоптиком.Сплетая воедино научные и исторические факты, журналист-эколог Синтия Барнетт раскрывает удивительную связь между дождем, искусством, человеческой историей и нашим будущим.
Эта книга – захватывающий триллер, где действующие лица – охотники-ученые и ускользающие нейтрино. Крошечные частички, которые мы называем нейтрино, дают ответ на глобальные вопросы: почему так сложно обнаружить антиматерию, как взрываются звезды, превращаясь в сверхновые, что происходило во Вселенной в первые секунды ее жизни и даже что происходит в недрах нашей планеты? Книга известного астрофизика Рэя Джаявардхана посвящена не только истории исследований нейтрино. Она увлекательно рассказывает о людях, которые раздвигают горизонты человеческих знаний.
Можно ли выразить красоту с помощью формул и уравнений? Существует ли в мире единый стандарт прекрасного? Возможно ли измерить гармонию с помощью циркуля и линейки? Математика дает на все эти вопросы утвердительный ответ. Золотое сечение — ключ к пониманию секретов совершенства в природе и искусстве. Именно соблюдение «божественной пропорции» помогает художникам достигать эстетического идеала. Книга «Золотое сечение. Математический язык красоты» открывает серию «Мир математики» — уникальный проект, позволяющий читателю прикоснуться к тайнам этой удивительной науки.
Какова взаимосвязь между играми и математикой? Математические игры — всего лишь развлечение? Или их можно использовать для моделирования реальных событий? Есть ли способ заранее «просчитать» мысли и поведение человека? Ответы на эти и многие другие вопросы вы найдете в данной книге. Это не просто сборник интересных задач, но попытка объяснить сложные понятия и доказать, что серьезная и занимательная математика — две стороны одной медали.
Физика, астрономия, экономика и другие точные науки основаны на математике — это понятно всем. Но взаимосвязь математики и творчества не столь очевидна. А ведь она куда глубже и обширнее, чем думают многие из нас. Математика и творчество развивались параллельно друг другу на протяжении веков. (Например, открытие математической перспективы в эпоху Возрождения привело к перевороту в живописи.) Эта книга поможет читателю посмотреть на некоторые шедевры живописи и архитектуры «математическим взглядом» и попробовать понять замысел их создателей.
Число π, пожалуй, самое удивительное и парадоксальное в мире математики. Несмотря на то что ему посвящено множество книг, оно по праву считается самым изученным и сказать о нем что-то новое довольно сложно, оно по-прежнему притягивает пытливые умы исследователей. Для людей, далеких от математики, число π окружено множеством загадок. Знаете ли вы, для чего ученые считают десятичные знаки числа π? Зачем нам необходим перечень первого миллиарда знаков π? Правда ли, что науке известно все о числе π и его знаках? На эти и многие другие вопросы поможет найти ответ данная книга.