Том 20. Творчество в математике. По каким правилам ведутся игры разума - [25]
Ничего не выходило, между рукой и титульным листом всякий раз оказывалось несколько страниц. Казалось, они вырастали из книги.
— Теперь найдите конец.
Опять неудача; я едва смог пробормотать:
— Этого не может быть.
<…>
— Не может быть, но так есть. Число страниц в этой книге бесконечно.
Первой страницы нет, нет и последней. Не знаю, почему они пронумерованы так произвольно. Возможно, чтобы дать представление о том, что члены бесконечного ряда могут иметь любой номер. <…> Если пространство бесконечно, мы пребываем в какой-то точке пространства. Если время бесконечно, мы пребываем в какой-то точке времени»[3].
Так как в книге нет первой страницы, наша гипотеза о натуральных числах ошибочна. На каком множестве чисел отсутствует первый элемент? На множестве положительных рациональных чисел, то есть на множестве конечных или периодических десятичных дробей. Это множество не только бесконечное и счетное (его элементы можно сосчитать), но на нем также нет первого и последнего числа, ведь первого положительного рационального числа после нуля не существует. Если бы это число, назовем его А, существовало, то мы всегда могли бы разделить его пополам и получить A/2 — положительное рациональное число, меньшее А:
0 < А/2 < A
Первым рациональным числом должно быть A/2. Но это вновь неверно, так как A/4 еще меньше, А/8 — еще меньше. Таким образом, между данным рациональным числом (обозначающим первую страницу «Книги песка») и нулем (обозначающим обложку книги) может уместиться бесконечно много рациональных чисел (страниц книги). Мы можем пронумеровать страницы книги рациональными числами, заключенными между 0 и 1. Но у нее не будет ни первой страницы, ни последней.
Что хотел сказать Борхес, когда написал, что мы находимся в одной из точек бесконечного пространства и времени? Возможно, что мы не можем увидеть его концов или пределов. Если бы пространство и время были конечными, можно было бы вести речь о половинах, третях, соотношениях и расстояниях от концов, но если пространство и время бесконечны, эти рассуждения теряют смысл.
То, что Борхес четко представлял себе бесконечность и ее связь с различными измерениями пространства, становится очевидным уже в начале рассказа: «Линия состоит из множества точек, плоскость — из бесконечного множества линий; книга — из бесконечного множества плоскостей; сверхкнига — из бесконечного множества книг…»[4]
* * *
ХОРХЕ ЛУИС БОРХЕС (1899–1986)
Хорхе Луис Борхес — один из самых выдающихся писателей XX века. Его произведения сложно привязать к какому-то конкретному жанру: их в равной степени можно отнести к рассказам, эссе, поэзии и фантастике. Фантазия Борхеса не лишена логики. В его рассказах содержатся прекрасные и доступные описания научных и математических идей, понятные широкой публике. К подобным произведениям относятся «Вавилонская библиотека», «Фунес памятливый», «Аналитический язык Джона Уилкинса» и «Сад расходящихся тропок». Некоторые считают, что в последней Борхес предвосхитил некоторые открытия квантовой механики.
На реверсе аргентинской монеты достоинством в 2 песо, выпущенной в 1999 году в честь столетия со дня рождения Хорхе Луиса Борхеса, изображен лабиринт, упоминаемый во многих произведениях писателя.
* * *
В еще одном его произведении главную роль играют не числа, а измерения.
«Диск» — это короткий рассказ, в котором алчный дровосек убивает зашедшего к нему путника, после чего много лет ищет оброненный его жертвой магический диск — диск Одина, у которого всего одна сторона:
«— Я иду путями изгнанника, но я король, ибо у меня есть диск. Показать тебе его?
Он разжал костлявый кулак. В нем ничего не было. Ладонь была пуста.
Только сейчас я вспомнил, что до этого он не разжимал его ни разу.
Пристально глядя на меня, он сказал:
— Можешь коснуться.
С некоторой опаской я дотронулся кончиками пальцев до его ладони.
Я почувствовал холод и увидел, как что-то сверкнуло. В то же мгновение его пальцы сомкнулись. Я ждал. Незнакомец продолжал, как если бы он говорил с ребенком:
— Это диск Одина. У него есть только обратная сторона. Подобного ему нет на всей земле. Пока я владею им, я король.
— Он из золота? — спросил я.
— Не знаю. Это диск Одина. И у него одна-единственная сторона»[5].
У трехмерного диска три стороны. Две из них имеют форму круга, третья — это полоса, их соединяющая, которую мы можем развернуть в виде прямоугольника.
Двумерные предметы не имеют толщины. Математическое творение Борхеса состоит в том, что он доказал, что у диска Одина нет толщины, так как у него нет одной из боковых сторон. Дровосек никак не может найти диск, потому что он, скорее всего, упал невидимой гранью вверх.
Отсылки к математике содержатся и во многих произведениях Итало Кальвино:
«Космикомические истории», «Раздвоенный виконт», «Незримые города». Так, его совершенно нематематический роман «Незримые города» содержит множество связей с различными математическими идеями. На страницах романа Марко Поло описывает города своей империи Кубла-хану. Каждый город носит женское имя, и мы выбрали в качестве примера фразу из описания города Доротея:
