Том 20. Творчество в математике. По каким правилам ведутся игры разума - [26]
«О городе Доротее можно повествовать двояко: либо рассказывая о том, что над ее стенами вздымаются четыре башни, а к семи воротам ведут подъемные мосты, переброшенные через ров; четыре канала с водой зеленого цвета пересекают город и делят его на девять кварталов, в каждом из которых находится по триста домов и семьсот дымоходов…»[6]
При описании архитектурных элементов города Кальвино использует конкретные величины: четыре башни, семь ворот, четыре канала с водой зеленого цвета, девять кварталов, 300 домов и 700 дымоходов. Неизбежно возникает желание провести некоторые расчеты. Так, всего в Доротее 9·300 = 2700 домов и 9·700 = 6300 дымоходов, что означает, что во многих домах больше двух дымоходов.
Не будем сосредотачивать внимание на этих вычислениях, а обратимся к топологическому аспекту описания, которое гласит, что «четыре канала с водой зеленого цвета пересекают город и делят его на девять кварталов».
Допустим, что каналы имеют форму прямых линий. Существует множество способов разделить город на девять кварталов четырьмя каналами. Можно проложить каналы так, что город окажется разделенным на одиннадцать кварталов, как показано на следующих рисунках:
Возникает вопрос: каково максимальное число кварталов, на которые можно разделить город прямыми улицами или каналами? Иными словами, каково максимальное число областей, на которое можно разделить часть плоскости n отрезками?
Чтобы ответить на этот вопрос, обратим внимание, что одна улица делит город всего на два района, а максимальное число районов образуется тогда, когда новая прямолинейная улица пересекает все существующие районы:
При прокладке первой улицы образуется один новый район, при прокладке второй улицы — два, третьей — три и т. д. Таким образом, при прокладке n-й улицы образуется n новых районов. Следовательно,
Иными словами, максимальное число районов В(n) равно сумме n и числа районов, полученных на предыдущем этапе, В(n — 1):
При подобном расположении улиц город будет выглядеть примерно так:
Образующаяся кривая — так называемая эвольвента В(n) для n —>
х>2 + у>2 + 2ху — 4у = 0.
Если же улицы необязательно должны быть прямыми, то максимально возможное число районов будет равно В(n) = 2n. На следующем рисунке изображен план города, который делится шестью улицами на 64 района:
Теорема Вариньона — это знаменитая теорема планиметрии, описывающая удивительный феномен. В классификации Дьёрдя Пойа это задача на доказательство.
Эта теорема иллюстрирует два важных принципа: во-первых, доказательство, которое не объясняет явление, не является достаточным, во-вторых, цель творческого подхода в математике заключается в том, чтобы понять явление, а для этого необходимо всестороннее доказательство. Иными словами, иногда «доказать» не означает «объяснить».
Выберем четыре произвольные точки плоскости Р, Q, R, S и соединим их отрезками, образуя четырехугольник. Обозначим середины его сторон точками А, В, С, D. Соединим эти точки так, чтобы получился второй четырехугольник внутри первого. Замечаете ли вы нечто особенное?
Повторите построение для других исходных точек, и вы увидите то же самое.
Перед нами — необычная ситуация. Кажется, что геометрия не подчиняется здравому смыслу. Какую бы форму ни имел исходный четырехугольник, для него всегда будет выполняться утверждение:
четырехугольник, вершины которого совпадают с серединами сторон произвольного четырехугольника, является параллелограммом.
Мы обнаружили порядок среди хаоса. Первое, что нужно сделать в подобных ситуациях — постараться объяснить увиденное. Быть может, доказательство поможет нам найти такое объяснение, а может быть, и нет. Рассмотрим векторный и алгебраический подход к этой теореме. Нужно доказать, что точки А, В, С и D, которые являются серединами сторон произвольного четырехугольника PQRS, определяют параллелограмм. Иными словами, нужно доказать, что векторы АВ>→ и DC>→ равны, то есть их можно разложить на одинаковые составляющие. Пусть исходные точки имеют следующие координаты: P(p>1, р>2), Q(q>1, q>2), R(r>1, r>2) и S(s>1, s>2). Найдем координаты первого из рассматриваемых векторов и покажем, что они равны координатам второго вектора:
Теорема доказана. Объясняет ли это доказательство суть увиденного нами? Нет. Перед нами пример того, как логика доказывает, но не объясняет. В данном случае логика не объясняет, потому что из доказательства мы не можем понять, почему ситуация складывается именно так, а не иначе. Вернемся в начало доказательства и обратим внимание на часть исходной фигуры:
Возможно, в этом контексте она покажется вам знакомой. Проведем вспомогательную линию — единственно возможную для завершения рисунка:
Результат построения — треугольники APD и QPS. Так как точки А и D — середины сторон PQ и PS соответственно, то отрезок AD параллелен QS, а его длина в два раза меньше длины QS. Последнее утверждение известно как теорема о средней линии — она заслуживает отдельного упоминания, так как не столь очевидна, как может показаться.
