Том 20. Творчество в математике. По каким правилам ведутся игры разума - [18]

12² = (2²·3)² = 2⁴·3²;

315² = (З²·5 ·7)² = З⁴·5²·7².

Если частное двух натуральных чисел m и n равно квадратному корню из двух, то

Теперь разложение на простые множители для m² и для m² содержит четное число простых множителей. По этой причине, вне зависимости от того, присутствует ли 2 в разложении n² на множители, 2 будет фигурировать в разложении 2n² нечетное число раз. Если разложение n² на множители не содержит 2, то разложение 2n² будет содержать одну двойку; если же в разложении n² содержится несколько двоек, их число будет четным, следовательно, в разложении 2n² двойка встретится нечетное число раз. Поэтому m² и n²  не могут быть равны, так как в разложении одного из этих чисел 2 встретится четное число раз, а в разложении другого — нечетное число раз. Следовательно, √2 не может быть частным двух натуральных чисел, и диагональ квадрата и его сторона несоизмеримы.

* * *

ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ЧИСЛА

Многочлен — это выражение, в котором присутствует переменная, возведенная в различные степени с натуральным показателем. Числа, на которые умножается переменная в этих степенях, называются коэффициентами. Например, следующий многочлен

Р(х) = х⁵ — 4х³ + 3х²/2 -6

имеет рациональные коэффициенты, а именно 1, -4, 3/2 и -6. Число а называется корнем многочлена, если при этом значении переменной многочлен обращается в ноль: Р(а) = 0. Число а = 2 является корнем вышеприведенного многочлена. Число называется трансцендентным, если не существует многочлена с рациональными коэффициентами, корнем которого оно бы являлось. Иными словами, нельзя записать уравнение со степенями с натуральным показателем, решением которого будет трансцендентное число. Иррациональность числа √2 была доказана еще в Древней Греции. Об иррациональности числа я математики подозревали давно, однако доказательство этому было найдено лишь в 1761 году благодаря усилиям Иоганна Ламберта. В 1882 году Линдеман доказал, что я является трансцендентным числом. Как следствие, была окончательно доказана невозможность решения задачи о квадратуре круга. Число е (е = 2,71828182845904…) названо так по первой букве фамилии одного из величайших математиков всех времен — Леонарда Эйлера (1707–1783). Так же как и π, е является иррациональным и трансцендентным.

* * *

Натуральные числа столь близки нам, что многие считали их божественным творением. Можно сказать, что нечто столь совершенное не имеет изъянов и что любая теорема о натуральных числах в итоге обязательно должна быть либо доказана, либо опровергнута. Любое утверждение в системе натуральных чисел обязательно является либо истинным, либо ложным.

Однако математик Курт Гёдель (1906–1978) доказал, что это не так, что существуют недоказуемые теоремы о натуральных числах, то есть о них нельзя сказать, истинны они или ложны. Согласно так называемой теореме Геделя о неполноте натуральные числа также содержат парадоксы.

* * *

ПАРАДОКСЫ

Парадокс — это рассуждение, приводящее к взаимно исключающим заключениям. Рекурсия в языке порой становится причиной парадоксов, в частности, как в двух первых случаях из числа представленных ниже. Третий случай является удивительным примером математической задачи с тремя разными решениями.

1. Некий брадобрей бреет только тех, кто не бреется сам. Кто должен брить самого брадобрея?

2. Слово «гетерологичный» означает «неприменимый к самому себе». Является ли само слово «гетерологичный» гетерологичным словом?

3. Парадокс Бертрана. В окружности случайным образом проводится хорда. Какова вероятность того, что ее длина будет превышать длину стороны равностороннего треугольника, вписанного в эту же окружность? Эту вероятность можно рассчитать тремя разными способами и получить три разных результата: 1/2, 1/3 и 1/4.

* * *

Как породить и приручить чудовище

Найти смысл и значение основных математических понятий всегда было творческой задачей. Существует множество простых уравнений, о которых говорят, что они не имеют решения, так как число, которое было бы их решением, не имеет смысла в наиболее часто используемой системе чисел.

В поле натуральных чисел, которые используются при счете, не имеет решения следующее уравнение, так как единственно возможное его решение не является натуральным числом:

2х = 1.

Однако это уравнение имеет решение в области дробных, то есть рациональных чисел:

Аналогично, очень простое уравнение

х² = 2

не имеет решения в поле рациональных чисел. Именно с этой проблемой столкнулись древние греки. Однако им пришлось принять этот «чудовищный» результат, поскольку он являлся решением одной из простейших геометрических задач — задачи о нахождении диагонали квадрата единичной стороны.

Решение этого уравнения и этой задачи расширяет поле чисел так называемыми вещественными числами:

Можно подумать, что некоторые уравнения не имеют решений просто потому, что не существует чисел, которые описывали бы их решения, и, следовательно, решение имеет всякое уравнение. Суть проблемы в том, принадлежит решение этого уравнения к известным на данный момент числам или нет. Приведем еще один пример: мы говорим, что уравнение