Том 20. Творчество в математике. По каким правилам ведутся игры разума - [16]

натуральных чисел равна квадрату их суммы.

Правильность этой теоремы можно подтвердить экспериментально для множества чисел — компьютер справится с этим за несколько мгновений. Однако экспериментальное подтверждение частных результатов и выведение из них какого-то общего принципа (именно так действуют физики и биологи) для математиков неприемлемо. В математике истинность увиденного нужно подтвердить для всех возможных случаев.

Как подтвердить истинность нашей теоремы для всех возможных случаев? Начнем с того, что вычислим сумму первых n натуральных чисел. Для этого применим метод, который использовал великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс, когда ему не было и десяти лет. Его биографы отмечают, что как-то раз преподаватель, чтобы занять учеников, дал им задание вычислить сумму натуральных чисел от 1 до 100.

Среди учеников был и Гаусс, который, к удивлению учителя, через несколько секунд протянул ему грифельную доску с правильным ответом. Юный Гаусс записал числа в два ряда, один над другим, и вычислил суммы в каждом столбце:

Сумма чисел в нижнем ряду равна 100·101 = 10100, что в два раза больше требуемой суммы. Следовательно, правильный ответ равен

1 + 2 + 3 + … + 99 + 100 = 10100/2 = 5050.

Применим этот же метод в нашем, более общем случае:

Можно заметить, что формула суммы первых n натуральных чисел такова:

1 + 2 + 3 +… + n = n(n + 1)/2 (*)

Вернемся к нашей теореме и используем эту формулу (**):

Теперь у нас есть две формулы, в которых фигурирует n первых натуральных чисел. Подтвердить правильность этих формул экспериментально на бесконечном множестве чисел невозможно. Нужно найти стратегию, которая позволила бы обойти эту проблему. Математик рассуждает так: «Отлично, дана формула, верная для n-го натурального числа. Так как все натуральные числа получаются прибавлением единицы к предыдущему, то если формула верна для n-го числа, я докажу ее истинность для следующего натурального числа. Если я докажу, что формула, верная для n, верна и для n + 1, то я автоматически докажу ее истинность для всех натуральных чисел».

Именно так мы и поступим. Сначала мы докажем, что если формула (*) верна для n, то она будет верна и для n + 1. Затем проведем аналогичное доказательство для формулы (**). Докажем, что:

Нам всего лишь нужно показать, что разность между двумя выражениями в левой части равенства, равная n + 1, равна разности двух выражений в правой части равенства:

Достаточно найти значение правой части равенства, чтобы убедиться, что это в самом деле так. Аналогично доказывается истинность выражения (**). Теперь мы можем закончить решение нашей задачи о площади:

Последнее преобразование верно потому, что с ростом n значения выражений 1/2n и 1/4n² становятся все меньше и меньше. В пределе, когда значение n равно бесконечности, значение обоих выражений будет равно 0. Как следствие, площадь фигуры, ограниченной кривой у = х³, равна 1/4 = 0,25.

Наиболее выдающийся результат математического творчества, который мы применили в этом решении, таков: мы вписали в искомую фигуру, площадь которой мы хотим найти, ряд прямоугольников, площадь которых легко вычислить. Чем больше прямоугольников мы впишем в искомую фигуру, тем ближе сумма их площадей будет к площади искомой фигуры. Так как значения площадей прямоугольников в пределе приближаются к конкретному числу и мы можем это доказать, можно найти конкретное значение площади криволинейной фигуры. От геометрического параллелизма мы переходим к числовому и обратно. Мы решили более простую задачу, чем исходная, а затем использовали полученный результат для решения нужной задачи.

Использование пределов в решении задач — одно из величайших достижений математического творчества всех времен. В конце XVII века Ньютон и Лейбниц использовали это понятие в качестве основы при создании математического анализа. Полтора столетия спустя французский математик Коши и немецкий математик Вейерштрасс уточнили понятие предела для непрерывных функций, подобных той, что мы рассмотрели в предыдущем примере.

Количественная оценка изменений

Создание математического анализа сыграло огромную роль в развитии математики, физики и науки в целом. Как отмечают историки, Ньютон и Лейбниц создали математический анализ независимо друг от друга. По сути, их общим вкладом в науку был ответ на следующий вопрос: как можно количественно измерить мгновенное изменение величины?

Количественная оценка изменения величины между двумя моментами времени не представляет проблемы — достаточно найти разность соответствующих значений. Например, если некоторое явление описывается функцией f(t) = t², где t обозначает время, выраженное в секундах, величина изменения, произошедшего между моментами времени t = 0 и t = 1,5, будет равна 2,25:

f(1,5) — f(0) = 1,5²  — 0² = 2,25.

Однако такой способ оценки изменения не слишком удобен, так как на более коротком интервале, например между t = 4,77 и t = 5, изменение величины будет практически таким же:

f(5) — f(4,77) = 5² — 4,77² ~= 2,25.

Полученная разность не позволяет понять, что же происходит на самом деле.