Том 20. Творчество в математике. По каким правилам ведутся игры разума - [15]
Именно так рассуждал Архимед. Вместо того чтобы рассмотреть многоугольник с п сторонами, он начал с правильного шестиугольника и последовательно удваивал число его сторон. Он дошел до многоугольника с 96 сторонами и вычислил приближенное значение числа π и площади круга с очень хорошей точностью:
Но заслуга Архимеда состоит не в том, что он провел такие трудоемкие расчеты. Во-первых, он показал, что большую часть вычислений можно опустить, если на данном этапе известны периметры и площади вписанного и описанного многоугольника — периметры и площади соответствующих многоугольников на следующем этапе можно вычислить как среднее гармоническое и среднее геометрическое.
Во-вторых, он разработал итеративный метод, на каждом шаге которого полученный результат был точнее, чем на предыдущем. Архимед открыл путь, ведущий к бесконечности. Пройти по этому пути до конца невозможно, но вполне возможно вычислить, что ждет нас в конце.
* * *
АРХИМЕД В XXI ВЕКЕ
С помощью тригонометрии и современных технологий можно повторить вычисления Архимеда, используя рекурсивный метод, в котором применяются правильные многоугольники с числом сторон, равным 2>n. Площадь 2n-угольника, вписанного в окружность единичного радиуса, равна:
Тригонометрия помогает увидеть, что закон, которому подчиняются площади многоугольников, определяется синусами углов вида π/(2>n). Этот закон позволяет найти площадь круга S>c:
Компьютер способен вычислить площадь многоугольника с 1024·2>10 сторонами по предыдущей формуле и показать, что результат близок к ожидаемому: S>1024 = 3,1415923…
* * *
Круг — простейшая из криволинейных фигур. Как же вычислить площадь любой другой фигуры? Зная формулу, которая описывает часть кривой, ограничивающей фигуру, математики могут найти площадь этой фигуры с помощью метода, схожего с методом Архимеда. Допустим, что мы хотим найти площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и кривой у = х>3 между началом координат (0,0) и точкой (1,0).
Эта фигура на иллюстрации выделена серым цветом:
Первым приближением искомой площади будет площадь прямоугольного треугольника с вершинами в точках (0,0), (1,0) и (1,1), равная 1/2. Однако это значение чрезвычайно далеко от истинного.
Метод, о котором мы расскажем далее, называется методом исчерпывания. Архимед использовал его более 2000 лет назад для вычисления площади, ограниченной участком параболы. Первым приближением площади искомой фигуры была площадь треугольника, по форме напоминающего эту фигуру. Теперь мы будем вычислять площадь прямоугольника.
Разделим интервал [0,1] на четыре равных интервала и построим на каждом из них по два прямоугольника — высота одного из них будет равна значению функции на левом конце интервала, высота другого — значению функции на правом конце интервала. Так как f(0) = 0>3 = 0, высота первого прямоугольника будет равна 0:
Искомая площадь S заключена между суммой площадей меньших прямоугольников S>1 (выделены светло-серым) и больших прямоугольников S>s (выделены темно-серым). Точнее говоря, искомая площадь будет больше первого значения и меньше второго. Вычислим обе эти площади с учетом того, что основания всех прямоугольников одинаковы и равны 1/4, отличаются лишь их высоты:
Среднее значение этих площадей равно: S ~= (S>1 + S>s)/2 = 0,265625. Найдем более точное значение площади, разбив исходный интервал на большее число частей:
Теперь основания всех прямоугольников равны 1/8. И вновь сумма площадей прямоугольников, выделенных темно-серым (S>s), будет больше искомой площади, которая превышает сумму площадей прямоугольников, выделенных светло-серым (S>1).
Их среднее значение равно:
S ~= 0.5·(S>s + S>1) = 0,2539…
Если мы продолжим этот процесс и будем последовательно делить интервал [0,1] на все более мелкие части, то в пределе мы разделим его на бесконечное число частей, получим бесконечное число прямоугольников, а сумма их площадей будет равна площади фигуры, заключенной между графиком кривой и осями координат.
Вопрос в том, как вычислить общую площадь бесконечного числа прямоугольников. Произведенные выше расчеты показывают, что искомое значение должно быть близко к 0,25, так как промежуточные результаты равны 0,2656… и 0,2539…
Чтобы получить окончательный ответ, рассмотрим, как мы вычислили два предыдущих значения. Вне зависимости от числа прямоугольников, будь их восемь, сто, тысяча или n, сумма их площадей будет рассчитываться одинаково. Значение площади S>s при разделении интервала [0, 1] на n равных частей будет равно:
Следовательно, задача сводится к тому, чтобы найти значение этого выражения, когда n стремится к бесконечности. Посмотрим, чему равен его числитель, представляющий собой сумму кубов натуральных чисел:
1>3 = 1
1>3 + 2>3 = 9
1>3 + 2>3 + 3>3 = 36
1>3 + 2>3 + 3>3 + 4>3 = 100
Числитель будет равен 1, 9, 36, 100, … — это квадраты чисел 1, 3, 6, 10, … Может показаться, что суммы кубов натуральных чисел равны квадратам некоторых других чисел. Но каких? Какой ряд образуют числа 1, 3, 6, 10, …? Заметим, что
1 = 1
1 + 2 = 3
1 + 2 + 3 = 6
1 + 2 + 3 + 4 = 10.
Можно сформулировать теорему:
Сумма кубов первых n
