Том 20. Творчество в математике. По каким правилам ведутся игры разума - [13]

Шрифт
Интервал



Возможно, еще более удивительным вам покажется то, что множество рациональных чисел обладает той же мощностью, что и множество натуральных чисел.

Чтобы подсчитать рациональные числа, нужно представить их в виде дробей, расположить их определенным образом и установить порядок подсчета:



Мощность множества натуральных чисел равна «элементарной» бесконечности и обозначается символом 

 (алеф ноль). Символом 
обозначается мощность бесконечного множества чисел, которое, в отличие от предыдущего, не является счетным, то есть его элементы нельзя подсчитать с помощью множества целых чисел.

Иными словами, элементам этого множества нельзя поставить в соответствие натуральные числа. Бесконечность этого множества имеет иную природу.

Простейший пример множества чисел, которое не является счетным, — это множество вещественных чисел, заключенных между 0 и 1 (к нему относятся иррациональные числа, которые нельзя представить как частное двух целых, например √2). Удивительное доказательство этого принадлежит великому Георгу Кантору.

Итак, допустим, что мы подсчитали все вещественные числа, заключенные между 0 и 1. Тогда мы можем упорядочить их следующим образом:

1 0,037563856636663…

2 0,919688568847383…

3 0,155382300008691…

4 0,000000033433002…

5 0,999995885994382…

6 0,101001000100001…

7 0,774647746477464…

Мы можем записать вещественное число вида 0, … не представленное в этом списке. Составить его можно так: если первый знак первого числа в списке равен 1, мы запишем 0, в противном случае — 1. Согласно этому правилу и с учетом вышеприведенных чисел наше новое число будет начинаться с 0,1…

Применим это же правило ко второму знаку второго числа в списке. Если он равен 1, мы запишем 0, в противном случае — 1. В записи нашего числа уже два знака: 0,10…

Повторим эти же рассуждения для следующих знаков числа. Для вышеприведенного списка наше число будет записываться так:

Ψ = 0,1011101…

Это число будет отличаться от всех присутствующих в списке как минимум одним знаком. Следовательно, этого числа в списке нет. По сути, найти его нам поможет сам список. Следовательно, составить исчерпывающий список невозможно, и вещественные числа в интервале от 0 до 1 сосчитать нельзя.

Доказательство Кантора показывает, что бесконечное множество вещественных чисел имеет иную природу, чем бесконечное множество натуральных, и это приводит к нескольким парадоксам. Например, несмотря на то что длина вещественной прямой и длина окружности произвольного радиуса отличаются, они содержат одинаковое число точек. Это может показаться бессмысленным, однако составим простую схему: если мы проведем из центра окружности все возможные лучи, которые пересекут окружность, то установим взаимно однозначное соответствие между точками полуокружности (X, Y, Z, …) и точками вещественной прямой (X', Y', Z', …).



Степени с не очень «натуральным» показателем

Все мы рассматриваем новые идеи через призму своего культурного опыта, и чтобы усвоить что-то новое, требуется взглянуть на уже известное под другим углом. Обучаясь, человек может обнаружить, что его рассуждения и рассуждения, приводимые в учебнике, вступают в конфликт друг с другом. Так происходит при изучении степеней, показатели которых являются отрицательными числами, десятичными дробями или иррациональными числами — их сложно понять в рамках классического подхода, где рассматриваются, например, операции умножения или деления.

Возвести число в степень означает умножить его на само себя столько раз, сколько указывает показатель степени:

3>4 = 3·3·3·3

При перемножении степеней их показатели складываются, при делении — вычитаются:

2>3·2>5  = (2·2·2)·(2·2·2·2·2) = 2>8.


Однако если мы разделим друг на друга степени с одинаковым показателем, например, 2>3 на 2>3, то получим удивительный результат. С одной стороны, он будет равен 1, так как 8/8 = 1. Но в соответствии с правилом показатели степеней должны вычитаться:


Это означает, что приведенный выше результат возможен только в том случае, если 2>0 = 1. Но почему число, умноженное само на себя ноль раз, равно 1? И это не все. Если при делении степеней показатель в знаменателе больше, чем в числителе, то мы получим степень с отрицательным показателем:


Изначально возведение числа в степень означало умножение этого числа на само себя несколько раз. Затем в математике появились операции и выражения, противоречащие этой точке зрения. Возвести число в отрицательную степень означает разделить единицу на число, умноженное само на себя столько раз, сколько указывает показатель степени. Логично ли это? Имеет ли это смысл? Да, это логично, но смысл этой операции нужно изменить. Нужно изменить понятие показателя степени как числа, означающего число сомножителей в произведении. Кроме того, степень с отрицательным показателем — то же самое, что степень с положительным показателем в знаменателе дроби. Таким образом:


Подобным же образом описываются степени с дробными показателями. Если квадратный корень числа возвести в квадрат, то результатом будет исходное число:

(√a)>2 = a

Какой показатель степени будет соответствовать квадратному корню из


Еще от автора Микель Альберти
Том 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света

В этой книге пойдет речь об этноматематике, то есть об особенностях методов счисления, присущих разным народам. Хотя история современной математики — часть европейского культурного наследия, опирается она на неакадемические пласты, существовавшие задолго до возникновения современной культуры. Этноматематика охватывает весь перечень математических инструментов, созданных разными народами для решения определенных задач. Конечно, она далека от знакомой нам академической науки и, скорее, опирается на практический опыт, а потому вдвойне интересна.


Рекомендуем почитать
Алексей Васильевич Шубников (1887—1970)

Книга посвящена жизни и творчеству выдающегося советского кристаллографа, основоположника и руководителя новейших направлений в отечественной науке о кристаллах, основателя и первого директора единственного в мире Института кристаллографии при Академии наук СССР академика Алексея Васильевича Шубникова (1887—1970). Классические труды ученого по симметрии, кристаллофизике, кристаллогенезису приобрели всемирную известность и открыли новые горизонты в науке. А. В. Шубников является основателем технической кристаллографии.


Квантовая модель атома. Нильс Бор. Квантовый загранпаспорт

Нильс Бор — одна из ключевых фигур квантовой революции, охватившей науку в XX веке. Его модель атома предполагала трансформацию пределов знания, она вытеснила механистическую модель классической физики. Этот выдающийся сторонник новой теории защищал ее самые глубокие физические и философские следствия от скептиков вроде Альберта Эйнштейна. Он превратил родной Копенгаген в мировой центр теоретической физики, хотя с приходом к власти нацистов был вынужден покинуть Данию и обосноваться в США. В конце войны Бор активно выступал за разоружение, за интернационализацию науки и мирное использование ядерной энергии.


Магнетизм высокого напряжения. Максвелл. Электромагнитный синтез

Джеймс Клерк Максвелл был одним из самых блестящих умов XIX века. Его работы легли в основу двух революционных концепций следующего столетия — теории относительности и квантовой теории. Максвелл объединил электричество и магнетизм в коротком ряду элегантных уравнений, представляющих собой настоящую вершину физики всех времен на уровне достижений Галилея, Ньютона и Эйнштейна. Несмотря на всю революционность его идей, Максвелл, будучи очень религиозным человеком, всегда считал, что научное знание должно иметь некие пределы — пределы, которые, как ни парадоксально, он превзошел как никто другой.


Знание-сила, 2006 № 12 (954)

Ежемесячный научно-популярный и научно-художественный журнал.


Занимательное дождеведение: дождь в истории, науке и искусстве

«Занимательное дождеведение» – первая книга об истории дождя.Вы узнаете, как большая буря и намерение вступить в брак привели к величайшей охоте на ведьм в мировой истории, в чем тайна рыбных и разноцветных дождей, как люди пытались подчинить себе дождь танцами и перемещением облаков, как дождь вдохновил Вуди Аллена, Рэя Брэдбери и Курта Кобейна, а Даниеля Дефо сделал первым в истории журналистом-синоптиком.Сплетая воедино научные и исторические факты, журналист-эколог Синтия Барнетт раскрывает удивительную связь между дождем, искусством, человеческой историей и нашим будущим.


Охотники за нейтрино. Захватывающая погоня за призрачной элементарной частицей

Эта книга – захватывающий триллер, где действующие лица – охотники-ученые и ускользающие нейтрино. Крошечные частички, которые мы называем нейтрино, дают ответ на глобальные вопросы: почему так сложно обнаружить антиматерию, как взрываются звезды, превращаясь в сверхновые, что происходило во Вселенной в первые секунды ее жизни и даже что происходит в недрах нашей планеты? Книга известного астрофизика Рэя Джаявардхана посвящена не только истории исследований нейтрино. Она увлекательно рассказывает о людях, которые раздвигают горизонты человеческих знаний.


Золотое сечение. Математический язык красоты

Можно ли выразить красоту с помощью формул и уравнений? Существует ли в мире единый стандарт прекрасного? Возможно ли измерить гармонию с помощью циркуля и линейки? Математика дает на все эти вопросы утвердительный ответ. Золотое сечение — ключ к пониманию секретов совершенства в природе и искусстве. Именно соблюдение «божественной пропорции» помогает художникам достигать эстетического идеала. Книга «Золотое сечение. Математический язык красоты» открывает серию «Мир математики» — уникальный проект, позволяющий читателю прикоснуться к тайнам этой удивительной науки.


Дилемма заключенного и доминантные стратегии. Теория игр

Какова взаимосвязь между играми и математикой? Математические игры — всего лишь развлечение? Или их можно использовать для моделирования реальных событий? Есть ли способ заранее «просчитать» мысли и поведение человека? Ответы на эти и многие другие вопросы вы найдете в данной книге. Это не просто сборник интересных задач, но попытка объяснить сложные понятия и доказать, что серьезная и занимательная математика — две стороны одной медали.


Том 16. Обман чувств. Наука о перспективе

Физика, астрономия, экономика и другие точные науки основаны на математике — это понятно всем. Но взаимосвязь математики и творчества не столь очевидна. А ведь она куда глубже и обширнее, чем думают многие из нас. Математика и творчество развивались параллельно друг другу на протяжении веков. (Например, открытие математической перспективы в эпоху Возрождения привело к перевороту в живописи.) Эта книга поможет читателю посмотреть на некоторые шедевры живописи и архитектуры «математическим взглядом» и попробовать понять замысел их создателей.


Секреты числа Пи. Почему неразрешима задача о квадратуре круга

Число π, пожалуй, самое удивительное и парадоксальное в мире математики. Несмотря на то что ему посвящено множество книг, оно по праву считается самым изученным и сказать о нем что-то новое довольно сложно, оно по-прежнему притягивает пытливые умы исследователей. Для людей, далеких от математики, число π окружено множеством загадок. Знаете ли вы, для чего ученые считают десятичные знаки числа π? Зачем нам необходим перечень первого миллиарда знаков π? Правда ли, что науке известно все о числе π и его знаках? На эти и многие другие вопросы поможет найти ответ данная книга.