Том 20. Творчество в математике. По каким правилам ведутся игры разума - [17]

Шрифт
Интервал

Мы хотим, чтобы в величине, служащей оценкой изменения, учитывался интервал, на котором происходит изменение. Изменение, произошедшее за очень короткий промежуток времени, более существенно, чем изменение, произошедшее за длительное время. Следовательно, величина изменений должна учитывать время, за которое происходит изменение (это изменение называют «размахом вариации»):


Это уже лучше — размах вариации отражает то, что мы хотели увидеть, так как 9,77 намного больше, чем 1,5. Однако мы хотим определить, как оценить мгновенное изменение величины, а не изменение на интервале. Как дать количественную оценку изменению величины в данный момент времени, например при t = 1 секунде?

Математический подход к решению этой задачи таков: будем вычислять размах вариации для все более мелких интервалов, близких к моменту времени t = 1, и посмотрим, к какому значению будут приближаться результаты.


Очевидно, что полученные числа все больше приближаются к 2. Именно это значение характеризует изменение величины в момент времени = 1, и его можно назвать мгновенным размахом вариации.

Графически размах вариации соответствует значению тангенса угла наклона касательной к кривой в данной точке, так как тангенс этого угла рассчитывается как отношение разности значений функции на концах интервала к длине этого интервала.

По мере того как значения х>1, x>2, х>3, … приближаются к х, точки Р>1, Р>2, Р>3 … приближаются к Р (см. рисунок ниже). Следовательно, мы поставим в соответствие точке Р тангенс угла наклона касательной, равный значению, к которому стремятся тангенсы этого угла в каждой из предшествующих точек.



Теорема, рождающая чудовищ

Пифагор, известнейший из математиков, создал самую знаменитую математическую теорему. Ее доказательства, предлагаемые в средней школе, совершенно не похожи на вариант, предложенный Евклидом. Он также основан на вычислении площадей, в нем, как и в формулировке самой теоремы, фигурируют площади квадратов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника. Однако площади используются только для доказательства. Сама же теорема используется только для вычисления длины.

Как правило, обычно доказывается прямая теорема Пифагора:

если a, b, с — катеты и гипотенуза прямоугольного треугольника соответственно, то а>2 + Ь>2 = с>2.

Обратное утверждение практически никогда не доказывается:

если а>2 + Ь>2 = с>2, то а, Ь, с являются катетами и гипотенузой прямоугольного треугольника соответственно.

Это утверждение имеет огромное практическое значение, так как позволяет строить поверхности, которые будут располагаться друг к другу под прямым углом, например стены здания. Этот же метод использовали египтяне, которым было известно, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 м — прямоугольный. Это соотношение сторон прямоугольного треугольника было известно в самых разных частях света и в разные эпохи, однако используемые значения порой существенно отличались — например, применялись треугольники со сторонами 60 см, 80 см и 1 м.

Задолго до Пифагора, в Древнем Египте и Месопотамии, были известны тройки целых чисел (позднее их стали называть пифагоровыми), в которых квадрат одного числа равнялся сумме квадратов двух других.

Объяснить закономерность, описывающую эти числа, математики того времени не могли. Но можно обнаружить интересные соотношения между числами, например 5>2 + 12>2 = 13>2: если не знать, в чем их причина и каковы их следствия, то подобные соотношения будут всего лишь интересными фактами. Строгое доказательство теоремы Пифагора вызвало первый крупный кризис в математике.

Девизом пифагорейской школы было «все есть число». Пифагорейцы наделяли числа мистическими свойствами и считали, что любые соотношения между вещами описываются соотношениями натуральных чисел. Если применить теорему Пифагора к диагонали квадрата, получим удивительный результат:



Пифагорейцы считали, что длина D (квадратный корень из 2) должна быть соизмерима со стороной квадрата, то есть быть дробным числом. Если бы мы разделили сторону квадрата на достаточно большое число частей, например на миллион, то длина диагонали должна была равняться целому числу частей. Можно ли представить ее как 1414213? Нет, так как квадратный корень из двух нельзя представить в виде частного двух натуральных чисел, и это помешало найти меру, которой можно было бы вычислить и сторону квадрата, и его диагональ.

Теорема породила чудовище, невозможное с общепринятой точки зрения.

Оказалось, что не все соотношения можно свести к отношению двух целых. Нечто столь простое, как диагональ квадрата, оказалось несоизмеримым с его стороной.

Так появились несоизмеримые величины. В то время математики не обладали достаточными знаниями, чтобы доказать, что длина окружности также несоизмерима с ее диаметром, то есть что число π несоизмеримо с дробными числами.

Рассмотрим, почему квадратный корень из 2 нельзя представить как частное двух натуральных чисел. Всякое натуральное число n можно представить в виде произведения простых множителей. Пример:

12 = 2>2·3;

315 = 3>2·3·7.

Заметим, что при возведении числа в квадрат все простые множители в его разложении будут встречаться четное число раз:


Еще от автора Микель Альберти
Том 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света

В этой книге пойдет речь об этноматематике, то есть об особенностях методов счисления, присущих разным народам. Хотя история современной математики — часть европейского культурного наследия, опирается она на неакадемические пласты, существовавшие задолго до возникновения современной культуры. Этноматематика охватывает весь перечень математических инструментов, созданных разными народами для решения определенных задач. Конечно, она далека от знакомой нам академической науки и, скорее, опирается на практический опыт, а потому вдвойне интересна.


Рекомендуем почитать
Алексей Васильевич Шубников (1887—1970)

Книга посвящена жизни и творчеству выдающегося советского кристаллографа, основоположника и руководителя новейших направлений в отечественной науке о кристаллах, основателя и первого директора единственного в мире Института кристаллографии при Академии наук СССР академика Алексея Васильевича Шубникова (1887—1970). Классические труды ученого по симметрии, кристаллофизике, кристаллогенезису приобрели всемирную известность и открыли новые горизонты в науке. А. В. Шубников является основателем технической кристаллографии.


Квантовая модель атома. Нильс Бор. Квантовый загранпаспорт

Нильс Бор — одна из ключевых фигур квантовой революции, охватившей науку в XX веке. Его модель атома предполагала трансформацию пределов знания, она вытеснила механистическую модель классической физики. Этот выдающийся сторонник новой теории защищал ее самые глубокие физические и философские следствия от скептиков вроде Альберта Эйнштейна. Он превратил родной Копенгаген в мировой центр теоретической физики, хотя с приходом к власти нацистов был вынужден покинуть Данию и обосноваться в США. В конце войны Бор активно выступал за разоружение, за интернационализацию науки и мирное использование ядерной энергии.


Магнетизм высокого напряжения. Максвелл. Электромагнитный синтез

Джеймс Клерк Максвелл был одним из самых блестящих умов XIX века. Его работы легли в основу двух революционных концепций следующего столетия — теории относительности и квантовой теории. Максвелл объединил электричество и магнетизм в коротком ряду элегантных уравнений, представляющих собой настоящую вершину физики всех времен на уровне достижений Галилея, Ньютона и Эйнштейна. Несмотря на всю революционность его идей, Максвелл, будучи очень религиозным человеком, всегда считал, что научное знание должно иметь некие пределы — пределы, которые, как ни парадоксально, он превзошел как никто другой.


Знание-сила, 2006 № 12 (954)

Ежемесячный научно-популярный и научно-художественный журнал.


Занимательное дождеведение: дождь в истории, науке и искусстве

«Занимательное дождеведение» – первая книга об истории дождя.Вы узнаете, как большая буря и намерение вступить в брак привели к величайшей охоте на ведьм в мировой истории, в чем тайна рыбных и разноцветных дождей, как люди пытались подчинить себе дождь танцами и перемещением облаков, как дождь вдохновил Вуди Аллена, Рэя Брэдбери и Курта Кобейна, а Даниеля Дефо сделал первым в истории журналистом-синоптиком.Сплетая воедино научные и исторические факты, журналист-эколог Синтия Барнетт раскрывает удивительную связь между дождем, искусством, человеческой историей и нашим будущим.


Охотники за нейтрино. Захватывающая погоня за призрачной элементарной частицей

Эта книга – захватывающий триллер, где действующие лица – охотники-ученые и ускользающие нейтрино. Крошечные частички, которые мы называем нейтрино, дают ответ на глобальные вопросы: почему так сложно обнаружить антиматерию, как взрываются звезды, превращаясь в сверхновые, что происходило во Вселенной в первые секунды ее жизни и даже что происходит в недрах нашей планеты? Книга известного астрофизика Рэя Джаявардхана посвящена не только истории исследований нейтрино. Она увлекательно рассказывает о людях, которые раздвигают горизонты человеческих знаний.


Золотое сечение. Математический язык красоты

Можно ли выразить красоту с помощью формул и уравнений? Существует ли в мире единый стандарт прекрасного? Возможно ли измерить гармонию с помощью циркуля и линейки? Математика дает на все эти вопросы утвердительный ответ. Золотое сечение — ключ к пониманию секретов совершенства в природе и искусстве. Именно соблюдение «божественной пропорции» помогает художникам достигать эстетического идеала. Книга «Золотое сечение. Математический язык красоты» открывает серию «Мир математики» — уникальный проект, позволяющий читателю прикоснуться к тайнам этой удивительной науки.


Дилемма заключенного и доминантные стратегии. Теория игр

Какова взаимосвязь между играми и математикой? Математические игры — всего лишь развлечение? Или их можно использовать для моделирования реальных событий? Есть ли способ заранее «просчитать» мысли и поведение человека? Ответы на эти и многие другие вопросы вы найдете в данной книге. Это не просто сборник интересных задач, но попытка объяснить сложные понятия и доказать, что серьезная и занимательная математика — две стороны одной медали.


Том 16. Обман чувств. Наука о перспективе

Физика, астрономия, экономика и другие точные науки основаны на математике — это понятно всем. Но взаимосвязь математики и творчества не столь очевидна. А ведь она куда глубже и обширнее, чем думают многие из нас. Математика и творчество развивались параллельно друг другу на протяжении веков. (Например, открытие математической перспективы в эпоху Возрождения привело к перевороту в живописи.) Эта книга поможет читателю посмотреть на некоторые шедевры живописи и архитектуры «математическим взглядом» и попробовать понять замысел их создателей.


Секреты числа Пи. Почему неразрешима задача о квадратуре круга

Число π, пожалуй, самое удивительное и парадоксальное в мире математики. Несмотря на то что ему посвящено множество книг, оно по праву считается самым изученным и сказать о нем что-то новое довольно сложно, оно по-прежнему притягивает пытливые умы исследователей. Для людей, далеких от математики, число π окружено множеством загадок. Знаете ли вы, для чего ученые считают десятичные знаки числа π? Зачем нам необходим перечень первого миллиарда знаков π? Правда ли, что науке известно все о числе π и его знаках? На эти и многие другие вопросы поможет найти ответ данная книга.