Том 15. От абака к цифровой революции. Алгоритмы и вычисления - [4]

.

Следующая таблица взята из «Всеобщей истории чисел». Заметим, что иа — шумерское слово, означающее «пять», используется как основание для представления других чисел путем сложения. Так, шумерское число 6 звучит как иа-хеш, где иа — 5, хеш — 1. Следовательно, на языке шумеров 6 выражалось составным словом «пять-один», что наводит на мысль об использовании пятеричной системы счисления.

Вавилонская система счисления была очень гибкой. Тройка (a, b, с) могла обозначать как а·60² + b·60 + с, так и другое число, в котором используются три последовательные степени числа 60, например а + b·60^-1 + с·60^-2. Так как с помощью отрицательных степеней можно представить дроби, в последнем случае число (1, 2, 3) соответствует числу 1 + 2/60 + 3/(60·60). Следовательно, с помощью этой системы счисления можно представлять дроби с очень большой точностью.

* * *

ПРИМЕТЫ ДРЕВНОСТИ

Возможно, читатель уже обратил внимание, что шестидесятеричная система счисления вовсе не похоронена в песках Ближнего Востока, а присутствует в нашей повседневной жизни, поскольку мы используем ее ежедневно и даже ежеминутно, когда смотрим на часы. При отсчете времени мы используем систему счисления по основанию 60. Вавилоняне делили сутки на 24 часа, час — на 60 минут, минуту — на 60 секунд. Аналогичная система используется и при измерении углов. Она также была введена вавилонянами и сохранилась до наших дней.

Астрономические часы в итальянском городе Брешиа.

* * *

Однако позиционная система счисления обладает одним недостатком: в ней нужно как-то представить отсутствие значения. В эпоху, когда ноль был неизвестен, устранить это неудобство было не так-то просто. Для обозначения разряда, не содержащего значение, вавилоняне использовали определенный символ. Позднее, примерно в 130 году в Александрии Птолемей использовал для этих целей омикрон — пятнадцатую букву греческого алфавита, внешне напоминающую современную букву О.

В вавилонской системе счисления сохранились связи с пиктографическим письмом, которое бытовало в прошлом и повлияло на внешний облик символов для обозначения цифр. В Вавилоне существовали архаичные и примитивные, но очень эффективные счетные машины. Принцип их действия базировался на размещении в определенном порядке различных предметов, соответствовавших величинам: один предмет обозначал единицу, другой — десяток, третий — шестьдесят и так далее.

Таким образом можно было совершать сравнительно сложные вычисления, достаточные для практических нужд. Судя по всему, символы первой письменной нотации напоминали очертания этих предметов.

Эта теория подтверждается различными открытиями. С начала раскопок дворца Нузи в 1896 году в 90 километрах от Тигра, вблизи современного иракского города Киркук было найдено 5000 клинописных табличек XV и XIV века до н. э. и 200 более древних — XXIV и XXIII века до н. э. Во дворце также был найден глиняный сосуд яйцевидной формы, внутри которого находился ряд одинаковых фигур сферической формы. На сосуде была сделана надпись, обозначавшая количество голов скота.

Знаменитая табличка Плимптон 322, созданная в период с 1824 по 1784 год до н. э., содержит ряд чисел в шестидесятеричной системе счисления, записанных в четыре столбца.

Ровно столько же глиняных фигурок находилось внутри сосуда. В Сузах, городе, который располагался на территории современного Ирана и считается одним из старейших городов мира, были найдены глиняные сосуды с надписями, внутри которых находились различные диски, конусы, шарики и палочки. Когда значение надписей было расшифровано, стало понятно, что они соответствуют определенным числам.

Вавилонская система исчисления была очень развитой. В этом можно убедиться на примере множества табличек, где записана различная информация, связанная с математикой. На многих из них изображены таблицы с числами. Были найдены таблицы умножения, возведения в квадрат и куб, а также таблицы обратных чисел. В некоторых таблицах обратных чисел отсутствуют обратные числа для 7 и 11, которые в системе счисления по основанию 60 записываются бесконечным числом знаков. В других таблицах приводятся приближенные значения этих чисел, большие или меньшие истинных значений. На некоторых были записаны таблицы квадратных корней и степеней чисел. Считается, что таблицы степеней использовались для расчетов логарифмов. Если в таблице не приводилось число, обратное заданному, оно вычислялось с помощью линейной интерполяции чисел, содержащихся в таблице.

Далее приведена таблица умножения на 9, записанная на глиняной табличке, найденной в Ниппуре, которая в настоящее время хранится в Иенском университете. Числа, зафиксированные на табличке, перевела в современную систему счисления историк математики и науки Кристин Пруст. Эта таблица обладает интересными свойствами.

Например, число (1,3), соответствующее умножению 9·7, понимается как 1·60 + 3 = 63; число (7, 30), которому соответствует 9·50, понимается как 7·60 + 30 = 420 + 30 = 450.

В следующем примере, также адаптированном госпожой Пруст, приведена таблица обратных чисел с еще одной таблички, найденной в Ниппуре. В этой таблице 20 означает 20·60