Секреты числа Пи. Почему неразрешима задача о квадратуре круга - [34]

Шрифт
Интервал

Очевидно, что недоказуемые утверждения не следует искать среди общеупотребительных. Если недоказуемость какого-либо утверждения как-то повлияет на другие области стандартной математики (яркий пример — теорема Ферма), то маловероятно, что мы имеем дело с гёделевским утверждением.

Вспомним последние вопросы, которые перед нами поставило число π. Есть ли на них ответ? На данный момент нет. Будет ли он получен в будущем? Возможно.

Мы не заявляем, что многие утверждения о π являются недоказуемыми. Многие полагают, что эти утверждения будут недоказуемы, если их доказательство или опровержение не повлияет на «стандартную» математику.

Допустим, что некоторые утверждения о числе π связаны с бесконечностью — весьма тонкой областью, расположенной на переднем рубеже математики. Именно в этой области выводы Гёделя уже получили подтверждение.


КУРТ ГЁДЕЛЬ (1906–1978)

Этот американский математик чешского происхождения специализировался на логике. В Европе он участвовал в семинарах Венского кружка. Эмигрировал в США из-за растущей угрозы нацизма. Известность ему принесла публикация «О формально неразрешимых предложениях Principia mathematica и родственных систем». Его работы настолько сложны для неспециалистов, что научно-популярная книга Эрнеста Нагеля «Доказательство Гёделя» более известна, чем оригинальный труд Гёделя. В этом труде представлены теоремы о неполноте, которые гласят, что формальная система, в которой можно определить основные арифметические понятия, не может быть одновременно полной и непротиворечивой. Он также доказал, что внутри такой системы есть аксиомы, недоказуемые в рамках этой системы. Оба вывода до сих пор не перестают вызывать смущение и ограничивают математику в той же мере, в какой принцип неопределенности Гейзенберга ограничивает физику.

Этот и другие результаты сделали Гёделя почти легендарной фигурой среди ученых всего мира. Книга Дугласа Роберта Хофштадтера «Гёдель, Эшер, Бах: эта бесконечная гирлянда» стала бестселлером.

На протяжении всей жизни Гёдель страдал от депрессии и паранойи, что в конечном итоге привело к его смерти. Эта история больше напоминает приключенческий роман: Гёдель соглашался есть только то, что сперва пробовала его жена, поэтому когда она заболела и ее положили в больницу, он отказался принимать пищу и в итоге умер от истощения.



Курт Гёдель и Альберт Эйнштейн в Институте перспективных исследований в Принстоне, Нью-Джерси.

Глава 7

Первые 10 000 знаков числа π

Пока не вычисленные знаки π дремлют в таинственном абстрактном мире, наслаждаясь зыбкой реальностью. Пока они не вычислены, они не полностью реальны, но даже и тогда их реальность будет лишь относительна.

Уильям Джеймс


π = 3, : число знаков

1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510: 50

5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679: 100

8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128: 150

4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196: 200

4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091: 250

4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273: 300

7245870066 0631558817 4881520920 962829254 09171536436: 350

7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094: 400

3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548: 450

0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912: 500

9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798: 550

6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132: 600

0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872: 650

1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235: 700

4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960: 750

5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859: 800

5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881: 850

7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303: 900

5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778: 950

1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989: 1000

3809525720 1065485863 2788659361 5338182796 8230301952: 1050

0353018529 6899577362 2599413891 2497217752 8347913151: 1100

5574857242 4541506959 5082953311 6861727855 8890750983: 1150

8175463746 4939319255 0604009277 0167113900 9848824012: 1200

8583616035 6370766010 4710181942 9555961989 4676783744: 1250

9448255379 7747268471 0404753464 6208046684 2590694912: 1300

9331367702 8989152104 7521620569 6602405803 8150193511: 1350

2533824300 3558764024 7496473263 9141992726 0426992279: 1400

6782354781 6360093417 2164121992 4586315030 2861829745: 1450

5570674983 8505494588 5869269956 9092721079 7509302955: 1500

3211653449 8720275596 0236480665 4991198818 3479775356: 1550

6369807426 5425278625 5181841757 4672890977 7727938000: 1600

8164706001 6145249192 1732172147 7235014144 1973568548: 1650

1613611573 5255213347 5741849468 4385233239 0739414333: 1700

4547762416 8625189835 6948556209 9219222184 2725502542: 1750

5688767179 0494601653 4668049886 2723279178 6085784383: 1800

8279679766 8145410095 3883786360 9506800642 2512520511: 1850

7392984896 0841284886 2694560424 1965285022 2106611863: 1900

0674427862 2039194945 0471237137 8696095636 4371917287: 1950

4677646575 7396241389 0865832645 9958133904 7802759009: 2000

Продолжить чтение
Еще от автора Хоакин Наварро
Том 31. Тайная жизнь чисел. Любопытные разделы математики

Задача этой книги — опровергнуть миф о том, что мир математики скучен и скуп на интересные рассказы. Автор готов убедить читателей в обратном: история математики, начиная с античности и заканчивая современностью, изобилует анекдотами — смешными, поучительными и иногда печальными. Каждая глава данной книги посвящена определенной теме (числам, геометрии, статистике, математическому анализу и так далее) и связанным с ней любопытным ситуациям. Это издание поможет вам отдохнуть от серьезных математических категорий и узнать чуть больше о жизни самих ученых.

До предела чисел. Эйлер. Математический анализ

Леонард Эйлер, без всякого сомнения, был самым выдающимся математиком эпохи Просвещения и одним из самых великих ученых в истории этой науки. Хотя в первую очередь его имя неразрывно связано с математическим анализом (рядами, пределами и дифференциальным исчислением), его титаническая научная работа этим не ограничивалась. Он сделал фундаментальные открытия в геометрии и теории чисел, создал с нуля новую область исследований — теорию графов, опубликовал бесчисленные работы по самым разным вопросам: гидродинамике, механике, астрономии, оптике и кораблестроению.

Том 37. Женщины-математики. От Гипатии до Эмми Нётер

Из этой книги читатель узнает о жизни и научных достижениях самых выдающихся женщин-математиков разных эпох. Это Гипатия и Лукреция Пископия, Каролина Гершель и Мэри Сомервилль, Ада Лавлейс и Флоренс Найтингейл, Софья Ковалевская и Эмми Нётер, Грейс Хоппер и Джулия Робинсон. Хотя они жили в разные времена и исследовали разные области математики, всех их объединяла любовь к этой науке, а также стремление сломать сложившиеся в обществе стереотипы. Своим примером они доказали всему миру: женщины обладают такими же интеллектуальными способностями, как и мужчины, и преуспели в математике чуть меньше исключительно по социальным причинам.

Рекомендуем почитать
Монеты - свидетели прошлого

Новая книга профессора Московского университета Г. А. Федорова-Давыдова написана в научно-популярной форме, ярко и увлекательно. Она представляет собой очерки истории денежного дела в античных государствах Средиземноморья, средневековой Западной Европе, странах Востока, на Руси (от первых «златников» и «сребреников» князя Владимира до реформ Петра 1)„ рассказывается здесь также о монетах нового времени; специальный раздел посвящен началу советской монетной чеканки. Автор показывает, что монеты являются интересным и своеобразным историческим источником.

Летопись электричества

Книга в легкой и доступной форме рассказывает об истории электротехники и немного касается самого начального этапа радиотехники. Автор дает общую картину развития знаний об электричестве, применения этих знаний в промышленности и технике. В книге содержится огромное количество материала, рисующего как древнейшие времена, так и современность с её проблемами науки и техники. В русской литературе — это первая попытка дать читателю систематическое изложение накопленных в течение веков фактов, которые представляют грандиозный путь развития учения об электричестве и его практического применения.

Погода интересует всех

Когда у собеседников темы для разговора оказываются исчерпанными, как правило, они начинают говорить о погоде. Интерес к погоде был свойствен человеку всегда и надо думать, не оставит его и в будущем. Метеорология является одной из древнейших областей знания Книга Пфейфера представляет собой очерк по истории развития метеорологии с момента ее зарождения и до современных исследований земной атмосферы с помощью ракет и спутников. Но, в отличие от многих популярных книг, освещающих эти вопросы, книга Пфейфера обладает большим достоинством — она знакомит читателя с интереснейшими проблемами, которые до сих пор по тем или иным причинам незаслуженно мало затрагиваются в популярной литературе.

Зеленый пожар

Сорняки — самые древние и злостные враги хлебороба. Зеленым пожаром охвачены в настоящее время все земледельческие районы земного шара. В книге рассказывается об истории и удивительной жизненной силе сорных растений, об ожесточенной борьбе земледельца с сорняками и путях победы над грозным противником. - Книга в увлекательной и популярной форме рассказывает о борьбе с самым древним и злостным врагом хлеборобов — сорняками (первое издание — 1981 г). В ней даны сведения об истории и биологии сорняков, об их взаимоотношениях с культурными растениями.

Пчелы. Что человек и пчела значат друг для друга

Пчелы гораздо древнее, чем люди: когда 4–5 миллионов лет назад предшественники Homo sapiens встретились с медоносными пчелами, те жили на Земле уже около 5 миллионов лет. Пчелы фигурируют в мифах и легендах Древних Египта, Рима и Греции, Индии и Скандинавии, стран Центральной Америки и Европы. От повседневной работы этих трудолюбивых опылителей зависит жизнь животных и людей. Международная организация The Earthwatch Institute официально объявила пчел самыми важными существами на планете, их вымирание будет означать конец человечества.

Лаять не на то дерево

Многие традиционные советы о том, как преуспеть в жизни, логичны, обоснованны… и откровенно ошибочны. В своей книге автор собрал невероятные научные факты, объясняющие, от чего на самом деле зависит успех и, что самое главное, как нам с вами его достичь. Для широкого круга читателей.

Золотое сечение. Математический язык красоты

Можно ли выразить красоту с помощью формул и уравнений? Существует ли в мире единый стандарт прекрасного? Возможно ли измерить гармонию с помощью циркуля и линейки? Математика дает на все эти вопросы утвердительный ответ. Золотое сечение — ключ к пониманию секретов совершенства в природе и искусстве. Именно соблюдение «божественной пропорции» помогает художникам достигать эстетического идеала. Книга «Золотое сечение. Математический язык красоты» открывает серию «Мир математики» — уникальный проект, позволяющий читателю прикоснуться к тайнам этой удивительной науки.

Том 16. Обман чувств. Наука о перспективе

Физика, астрономия, экономика и другие точные науки основаны на математике — это понятно всем. Но взаимосвязь математики и творчества не столь очевидна. А ведь она куда глубже и обширнее, чем думают многие из нас. Математика и творчество развивались параллельно друг другу на протяжении веков. (Например, открытие математической перспективы в эпоху Возрождения привело к перевороту в живописи.) Эта книга поможет читателю посмотреть на некоторые шедевры живописи и архитектуры «математическим взглядом» и попробовать понять замысел их создателей.

Том 20. Творчество в математике. По каким правилам ведутся игры разума

В чем состоит загадка творчества? Существуют ли правила созидания? Действительно ли решение сложной задачи можно найти только в моменты удивительного озарения? Этими вопросами, наверное, задавался каждый из нас. Цель этой книги — рассказать о правилах творчества, его свойствах и доказать, что творчество доступно многим. Мы творим, когда мы размышляем, когда задаемся вопросами о жизни. Вот почему в основе математического творчества лежит умение задавать правильные вопросы и находить на них ответы.

Дилемма заключенного и доминантные стратегии. Теория игр

Какова взаимосвязь между играми и математикой? Математические игры — всего лишь развлечение? Или их можно использовать для моделирования реальных событий? Есть ли способ заранее «просчитать» мысли и поведение человека? Ответы на эти и многие другие вопросы вы найдете в данной книге. Это не просто сборник интересных задач, но попытка объяснить сложные понятия и доказать, что серьезная и занимательная математика — две стороны одной медали.