Секреты числа Пи. Почему неразрешима задача о квадратуре круга - [32]

Если число является нормальным во всех системах счисления, говорят, что оно является абсолютно нормальным.

Когда японский специалист Канада вычислил триллион знаков π, он подсчитал, сколько раз встретилась каждая цифра:

Десятичная цифра ∙ Частота среди первого триллиона знаков π

0 ∙ 99 999 485 134

1 ∙ 99 999 945 664

2 ∙ 100 000 480 057

3 ∙ 99 999 787 805

4 ∙ 100 000 357 857

5 ∙ 99 999 671 008

6 ∙ 99 999 807 503

7 ∙ 99 999 818 723

8 ∙ 100 000 791469

9 ∙ 99 999 854 780

Итого

1000 000 000 000

Распределение цифр, продемонстрированное Канадой, показывает, что π не является нормальным, хотя анализ первого триллиона знаков может показаться недостаточным.

Одно дело — предполагать, другое — доказать. Нормальность числа π, несмотря на все предположения, доказать пока не удалось.

Фактически не доказана нормальность ни одного из этих чисел: π, е, √2, log2, ни даже числа, описывающего золотое сечение (Ф).

Ниже мы приведем примеры чисел, о которых достоверно известно, что они являются нормальными, но эти числа были специально созданы человеческим гением. В 1917 году польский математик Вацлав Серпинский (1882–1969) нашел первое нормальное число.

Так называемая константа Хайтина

Ω = 0,00787499699…

является вероятностью того, что случайно выбранная программа на машине Тьюринга остановится. Ее определение достаточно сложно. Чтобы понять его, необходимо знать, как работают сумматоры, как обрабатываются биты программы, каков принцип действия машины Тьюринга и многое другое. Ω является нормальным числом, пусть даже его определение заставляет предполагать обратное.

Нормальные числа встречаются не так уж редко: их количество бесконечно. Число элементов множества нормальных чисел соизмеримо с количеством вещественных чисел. Почти все числа являются нормальными, но их очень сложно обнаружить математически. Предполагается, что любое алгебраическое иррациональное число является нормальным.

Недостаточная случайность числа π

Знаки π кажутся случайными, но это только кажущаяся случайность. Специалисты по числу π братья Чудновские провели все возможные проверки случайности знаков π, и все они были пройдены успешно. Случайным числам пытались дать точное определение различными способами и на протяжении длительного времени. В итоге наиболее корректным было признано определение Андрея Колмогорова, который сделал упор не на случайности, а на сложности. По Колмогорову, число тем сложнее, чем длиннее программа, необходимая для описания этого числа. Очевидно, что если кратчайший алгоритм или процесс описания числа столь же велик, как и само число, то это число должно быть очень сложным (или случайным). Если для расчета N нужно дать инструкции, по размерам сопоставимые с самим N, то речь идет об очень сложном, случайном числе.

АНДРЕЙ КОЛМОГОРОВ (1903–1987)

Андрей Колмогоров родился в Тамбове. Его мать умерла при родах, отца отправили в ссылку за участие в революционном движении, и мальчика воспитывали сестры матери. Уже в 1930-е годы он стал известен в мировых математических кругах благодаря публикации «Основных понятий теории вероятностей», где заложил фундамент этого раздела математики. Его известность возросла еще больше, когда вместе с одним из учеников, Владимиром Арнольдом (1937–2010), он решил тринадцатую проблему Гильберта (в 1900 году Давид Гильберт, лучший математик мира того времени, опубликовал список из 23 крупнейших задач математики, не решенных на тот момент). Среди разделов математики, которым Колмогоров уделял наибольшее внимание, отметим теорию случайных процессов и цепи Маркова. Его важнейшим вкладом в науку стала теория сложности, или теория вероятностей, — по сути, две стороны одной медали. В последние годы жизни, став непререкаемым авторитетом российской математики, он занимался этими теориями и прикладной математикой.

* * *

Это не выполняется для числа π, так как существуют конечные и относительно простые алгоритмы по расчету его знаков, причем отдельных знаков, находящихся на определенных позициях. Получается, что число π не может быть абсолютно случайным. Например, существует программа из 158 символов, позволяющая рассчитать 2400 знаков π. Проще говоря, можно сказать, что π является случайным, но не абсолютно случайным.

Последовательность знаков π кажется нам подчиненной воле случая. До сих пор не найден образец или эталон, который позволил бы определить, какая цифра находится на данной конкретной позиции. Да, для этого существуют алгоритмы, использующие формулу ВВР и аналогичные, но не существует никакого эталона или образца. Предполагается, что π является «не абсолютно случайным», но доказательство этому до сих пор не найдено.

Если бы любая последовательность знаков π была случайной, π являлось бы нормальным числом. Но обратное в общем случае неверно: число может быть нормальным и очевидно не являться случайным. Так называемое число Чамперноуна, о котором мы поговорим несколько позже, является нормальным, но не случайным, так как способ его построения объясняется несколькими словами.

Недоступная универсальность числа π

Ограничимся десятичной системой счисления для простоты рассуждений. Будем называть число универсальным, если его можно представить в виде десятичной дроби, в записи которой содержатся все возможные последовательности цифр. Если мы каким-либо способом преобразуем цифры в буквы, то в записи числа π будет содержаться «Гамлет», «Дон Кихот», эта книга или любая из книг всемирной библиотеки Борхеса, диссертации и их опровержения, научные труды и их копии, отличающиеся от оригинала на единственную букву, бессмысленные наборы букв и длинные последовательности повторяющихся символов. Все это будет содержаться в записи числа π и будет вечно ожидать своего читателя.