Секреты числа Пи. Почему неразрешима задача о квадратуре круга - [31]
Мы не будем приводить здесь подробное доказательство теоремы о бесконечных обезьянах, поскольку оно слишком объемно и требует объяснения многих понятий из теории вероятностей, но в общих чертах можно предположить, что теорема верна.
Допустим, что на клавиатуре 60 клавиш. Простая последовательность символов, например to be or not to be (знаменитое «быть или не быть» Гамлета), требует 18 нажатий. Вероятность того, что эта фраза не будет напечатана после n попыток, равна
(1 - (1/60>18))>n,
и при n —> оо это выражение стремится к нулю. Чтобы упростить расчеты, предположим, что вместо одной обезьяны за печатными машинками сидят k обезьян. Казалось бы, этот предел не изменится, но интуитивно понятно, что он будет достигнут быстрее.
Несколько более сложные рассуждения приводят к ожидаемому выводу: с точки зрения математики нет никаких сомнений в том, что за неограниченное время обезьяны напечатают всего «Гамлета». Любая книга, по сути, лишь конечная последовательность повторяющихся знаков. Бесконечное число обезьян напечатает любую книгу за бесконечное время.
Но с бытовой точки зрения кажется невероятным, что эта задача будет выполнена за конечное время. Какую ценность нам несет знание о том, что обезьяны могут напечатать «Дон Кихота», если для этого им потребуется время, превышающее возраст Вселенной? Чтобы написать хотя бы что-то осмысленное, хотя бы простую фразу, не говоря уже о «Дон Кихоте», обезьянам потребуется невероятно длинный промежуток времени.
Более того, любой физик — эксперт по вопросам термодинамики — скажет, что эта задача возможна математически, но невозможна с точки зрения физики. Вселенная содержит конечное число частиц, и время в ней также конечно. Даже если Вселенная содержит гугол частиц (это число придумал девятилетний племянник математика Эдварда Казнера, оно равняется 10>100), а Большой взрыв произошел 10 миллиардов лет назад, и даже если число обезьян будет равно числу частиц во всей Вселенной, вероятность того, что обезьяны за это время напечатают «Гамлета», будет ничтожно мала.
Аргентинский писатель Хорхе Луис Борхес описал огромную библиотеку, в каждой книге которой ровно 410 страниц.
Рассказ Борхеса «Всемирная библиотека» намного поэтичнее, и с ним не сравнится никакое описание автора этой книги. Процитируем фрагмент этого произведения, в котором изображена эта удивительная библиотека:
«В ее слепых томах заключено все. Буквально все: скрупулезная история будущего, “Египтяне” Эсхила, точное число раз, когда воды Ганга отражали полет сокола, хранимое в тайне подлинное имя Рима, энциклопедия, которую мог бы создать Новалис, мои сны и полусны утром четырнадцатого августа 1924 года, разгадка теоремы Пьера Ферма, ненаписанные главы “Эдвина Друда”, те же главы в переводе на язык племени гарамантов, парадоксы о природе Времени, придуманные и не опубликованные Беркли, железные книги Уризена, отроческие эпифании Стивена Дедала, к смыслу которых подступятся лет через тысячу, гностическое Евангелие Василида, песни сирен, точнейший каталог Библиотеки, справочник неточностей этого каталога. Буквально все, но на одну осмысленную строку или достоверное свидетельство здесь будут приходиться миллионы безумных какофоний, груды словесного мусора и неразберихи. Буквально все, но пройдут поколения людей, прежде чем головокружительные полки — полки, затмившие свет и приютившие хаос, — подарят им хоть одну связную страницу».
(Хорхе Луис Борхес, «Всемирная библиотека»)
Все, о чем мы только что рассказали, достаточно интересно и при этом не так далеко от числа π и его бесконечных знаков, как может показаться. Если вместо обычных пишущих машинок в нашем мысленном эксперименте дать обезьянам цифровые клавиатуры, то мы получим более или менее произвольные последовательности цифр. Один очень длинный ряд цифр. А что такое π, как не длинный ряд цифр?
В библиотеке, описанной Борхесом, могут храниться книги, где вместо литературных шедевров (большая часть из которых представляет собой лишь бессмысленную последовательность знаков) будут напечатаны последовательности цифр, имеющие начало и конец.
Но существует принципиальная разница между нашим мысленным экспериментом с печатными машинками, библиотекой Борхеса и последовательностью цифр числа π. Различие в том, что в первом случае речь идет о книгах или текстах конечной длины, а число знаков π бесконечно.
Ни одна обезьяна в нашем эксперименте не сможет напечатать π и ни одна библиотека, сколь велика бы она ни была, не сможет вместить число π и все его знаки. Мы мельком взглянули на бесконечность, но бесконечность, заключенная в числе π, смотрит на нас — невозмутимая, недоступная.
Является ли π нормальным числом? Парадоксально, но этим вопросом, на который пока нет ответа, задаются многие математики. Говорят, что иррациональное число является нормальным в десятичной системе счисления, если в его десятичной записи цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 встречаются с одинаковой частотой. Это же справедливо для последовательностей из двух цифр от 00 до 99, из трех цифр от ООО до 999 и так далее.
