Секреты числа Пи. Почему неразрешима задача о квадратуре круга - [13]

² — х — 1 = 0.

В 1874 году Кантор был еще молод и не страдал от психических расстройств. В одной из своих работ он доказал, что множество алгебраических чисел (будем обозначать его

), включающее все рациональные числа, является счетным множеством. Следовательно,

При этом каждое из этих множеств строго больше последующего:

Появление вещественных чисел

Мир чисел огромен. Пока что мы видели лишь его часть, которая является счетной.

Возможно, лучший способ рассказать о числах — это рассмотреть подробно их десятичную запись. Исследуем подробно множество всех десятичных чисел. Вообще говоря, десятичное число вида

34658,124796

является лишь формой записи следующего выражения

3∙10⁴ + 4∙10³ + 6∙10² + 5∙10¹ + 8∙10⁰ + 1∙10^-1 + 2∙10^-2 + 4∙10^-3 + 7∙10^-4 + 9∙10^-5 + 6∙10^-6

Цифры слева от запятой соответствуют положительным степеням 10, справа от запятой — отрицательным степеням. Вспомним, что

a∙10^-n= a/10ⁿ

Десятичная система счисления — это позиционная система счисления по основанию 10. Это лишь способ записи чисел, но сколь удобный способ! Это поистине великое достижение человечества.

СИМОН СТЕВИН (1548–1620)

Этот голландский ученый родился в бельгийском городе Брюгге. Он был военным инженером, занимался музыкой, физикой, математикой и бухгалтерией. Он вошел в историю как изобретатель двойной бухгалтерской записи, которая в значительной мере способствовала прогрессу в экономике и торговле. Но его вклад в математику еще важнее: в своем труде De Thiende («Десятая») он представил десятичную форму записи чисел. Эта система была слишком сложна, поэтому широкое распространение получили более поздние версии, например вариант, предложенный Джоном Непером,

Страница книги De Thiende, на которой приведен пример десятичной записи Стевина, не слишком удобной для повседневного использования. Единицы обозначаются кружком, обведенным вокруг 0, десятки — другим кружком вокруг 1, сотни — кружком вокруг 2 и так далее.

* * *

Десятичная дробь может быть конечной или бесконечной. Ниже приведен пример для обоих случаев:

1,234567890101112131415161718192021223242526…

127,789564.

Первое число — бесконечная десятичная дробь. Вторая дробь также содержит бесконечное количество знаков после запятой, но в ином виде:

127,789564 = 127,789564000000000000000000…

Фактически мы можем записать число 127,789564 более «сложным» способом:

= 127,789563999999999999999999…

Тем не менее в этих случаях речь идет о конечной десятичной дроби. Простейшие десятичные числа — это натуральные числа (

): они являются положительными и не имеют знаков после запятой. За ними следуют целые числа (

), которые могут быть отрицательными, но также не имеют знаков после запятой. Рациональные числа (

) включают в себя эти множества и имеют любопытную десятичную запись: цифры рационального числа имеют период, то есть некая группа цифр с определенного момента начинает повторяться. Вспомним, что рациональные числа являются дробями, или дробными числами, которые записываются в виде а/Ь, где а — целое, a Ь — натуральное число. Чтобы перейти от этой формы к десятичной записи, нужно разделить а на Ь, и каков же будет результат? Остаток не может превышать Ь, и после деления, выполненного Ь раз, числа начнут повторяться снова и снова. Это прекрасно видно на примере простейших дробей, в частности

11/7 = 1,571428571428571428…,

где период, или множество повторяющихся цифр, всегда равен 571428. Иногда период имеет гигантские размеры, но это не означает, что десятичное число будет иметь бесконечное количество знаков — они будут повторяться бесконечное число раз.

В этот момент неизбежно возникает вопрос: если периодические дроби соответствуют рациональным числам, то как быть с непериодическими десятичными дробями? Все очень просто: они являются не рациональными, а иррациональными.

ДИАГОНАЛЬНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Рассуждения Кантора, которые лежат в основе доказательства счетности множества десятичных дробей (то есть ), останутся в истории как доказательство его гениальности. Они оригинальны, но в то же время понятны. Это доказательство приобрело такую известность, что получило собственное название: диагональный метод, метод диагонализации, или диагональное доказательство. Посмотрим, почему это доказательство называется «диагональным».

Мы выполним действия, которые в математике именуются «сведением к абсурду», когда некая гипотеза предполагается истинной, а затем показывается, что из нее вытекает абсурдное заключение. Это означает, что исходная гипотеза ложна. Предположим (ниже мы докажем ложность этого утверждения), что множество десятичных дробей (т. е. вещественных чисел) является счетным. Будем говорить о счетности не всего множества , а лишь десятичных дробей, лежащих на интервале (0; 1), то есть удовлетворяющих условию 0 < х < 1, - лишь малой части

. Предположим, что десятичные дроби пронумерованы и перечислены друг под другом, не обязательно по порядку, так, как показано ниже:

В этом списке должны фигурировать все десятичные дроби, заключенные в промежутке между 0 и 1, так, чтобы нельзя было записать никакую десятичную дробь л, которая бы не содержалась в этом списке. Кантор, основываясь на этом утверждении, создал новую десятичную дробь