Секреты числа Пи. Почему неразрешима задача о квадратуре круга - [12]

 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …}.

Множество натуральных чисел обозначается латинской буквой .

Мы с удивлением обнаружим, что часть N, множество четных чисел, соответствует самому :

Поэтому

|{четные числа}| = ||.

Часть чего-либо бесконечного также может быть бесконечной и иметь то же кардинальное число.

Натуральные, рациональные и алгебраические числа

Люди много веков жили, повернувшись спиной к бесконечности. С подобным безразличием покончил немецкий математик высшего класса и непревзойденного ума, хоть и несколько эксцентричный. Его звали Георг Кантор.

Кардинальными числами конечных множеств являются натуральные числа. Кардинальные числа бесконечных множеств намного больше. Специалисты называют их трансфинитными, что дословно означает «находящиеся за пределами конечного». Наименьшее из трансфинитных чисел — это ||, которое Кантор обозначил как . Оно соответствует кардинальному числу множества натуральных чисел, иначе говоря,

|{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10, 11,}| = || = .

Происхождение этого необычного знака таково:

 (читается «алеф») — первая буква еврейского алфавита. Ноль, указанный как индекс, означает, что речь идет о наименьшем из всех алеф (алеф-нуле). Существует много кардинальных чисел, каждое имеет свой индекс:

Число  отражает множества, которые соответствуют . Например, это могут быть четные числа, нечетные числа, числа, кратные 3, кратные 5, и многие другие. Множества, соответствующие

, называются счетными, поскольку их элементы можно пронумеровать или подсчитать, как показано ниже:

* * *

ГЕОРГ КАНТОР (1845–1918)

Этот немецкий математик русского происхождения считается одним из величайших умов человечества. Он известен как создатель современной теории множеств и трансфинитных чисел. Его передовые идеи навлекли на себя нападки многих могущественных недоброжелателей, что заметно препятствовало академической карьере Кантора. Депрессии, которым был подвержен Кантор (он умер в психиатрической больнице), вероятно, были вызваны невозможностью проверить некоторые из его гипотез. Сегодня нам известно, что ответов на некоторые вопросы, которыми задавался Кентор, не существует, но определенные методы, которые он использовал в доказательствах, могут по праву называться гениальными.

* * *

Но здесь нас подстерегает множество сюрпризов: бесконечное множество

 = {…, -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ….}

математики называют множеством целых чисел, и  является частью . Очевидно, что всякое натуральное число является целым. Но что можно сказать о кардинальных числах этих множеств? Чему равно кардинальное число ? Если мы посмотрим на рисунок ниже, демонстрирующий процесс пересчета целых чисел,

то увидим, что || = |

| =

, поэтому множество 

также является счетным.

Сделаем еще один шаг вперед: рассмотрим множество дробей, или так называемых дробных чисел. Дробь определяется числителем и знаменателем и записывается в виде а/Ь. Если а кратно Ь, то а/Ь обозначают целым числом с, которое равно делению а на Ь без остатка:

а/Ь = с.

Фактически одним и тем же числом могут обозначаться разные дроби:

756/378 = 524/262 = 6/3 = 2.

Однако очевидно, что существуют и другие дроби, которые нельзя выразить целым числом, например 1/2 или 5/3. Существует больше дробных чисел, чем целых, так как всякое целое число можно представить в виде дроби. Имеем

Символ 

означает «строгое включение подмножества». Это своеобразная разновидность знака < для множеств.

Множество дробных чисел обозначается буквой . Можно убедиться, что  является частью . Или же, если так будет удобнее читателю,

Можно было бы ожидать, что кардинальное число 

больше, чем кардинальное число

, но вы уже видели, что здравый смысл не всегда применим к бесконечности.

Кантор «пронумеровал» дроби с помощью извилистой линии, изобразив нечто похожее на этот рисунок:

Нет никаких сомнений, что на рисунке помещаются все дроби, так как в каждом ряду содержатся все возможные числители, а в каждом столбце — все возможные знаменатели. Если мы хотим найти число а/Ь, то это очень просто сделать, перейдя к строке а и столбцу Ь. Также не вызывает сомнений, что каждой дроби (иными словами, каждому рациональному числу) соответствует последовательность стрелок, идущая к нему. Поэтому достаточно пронумеровать стрелки (1, 2, 3, 4, 5…), чтобы прийти к результату:

Сделаем еще один шаг. Говорят, что число является алгебраическим, когда оно является корнем многочлена

а_nхⁿ + а_n-1х^n-1 +… + а₁х + а₀,

все коэффициенты которого (а_n,а_n-1…, а₁, а₀) являются рациональными числами.

Существует великое множество алгебраических чисел. По сути, любое рациональное число является алгебраическим. Если мы рассмотрим произвольное рациональное число а/Ь, уравнение

х — а/Ь = 0

имеет решение х = а/Ь, а его коэффициенты являются рациональными числами: a₁ = 1 и а₀ = — а/Ь.

Существует множество других алгебраических чисел: так, число √2 является иррациональным и является корнем уравнения х² — 2 = 0, то есть удовлетворяет всем необходимым условиям. Алгебраическим также является такое известное число, как золотое число Ф — оно является корнем уравнения