Секреты числа Пи. Почему неразрешима задача о квадратуре круга - [11]
А = {а, Ь, с, d}
обозначает множество А, образованное символами а, Ь, с и d. Вместо букв могут использоваться животные, люди, музыкальные инструменты и так далее. Это не принципиально. Будем использовать наиболее простое определение, которое эксперты называют «наивным»: будем считать множество совокупностью объектов, называемых «элементами множества».
Множества могут соответствовать друг другу — так обычно говорят о множествах, между которыми установлено взаимно однозначное соответствие. Например, множества
{а, Ь, с} и {Наполеон,
соответствуют друг другу, так как между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие и при этом не останется лишних элементов. Напротив, множества
{а, Ь} и {Наполеон,
не могут соответствовать друг другу, поскольку в правом множестве всегда будет оставаться один элемент, которому не будет соответствовать никакой элемент левого множества. Из этого следует, что определение числа имеет отношение к множествам. Современное рекурсивное определение числа может выглядеть так:
1 = {0}
2 = {0, 1}
3 = {0, 1, 2}
4 = {0, 1, 2, 3}
5 = {0, 1, 2, 3, 4}
…
n = {0, 1, 2, 3, 4…. n — 1}
Говорят, что множество А имеет n элементов, если А соответствует n, иными словами, если между А и n имеется взаимно однозначное соответствие. Так, множество игроков футбольной команды на поле содержит 11 элементов, множество апостолов содержит 12 элементов. Согласно вышеприведенному перечню, множество 11 выглядит так:
11 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
Нет никаких сомнений в том, что между этим множеством и любым множеством футболистов на поле можно установить взаимно однозначное соответствие.
Как же мы определим ноль? Когда говорят, что множество содержит 0 элементов? В «наивной» теории множеств множество является совокупностью объектов. Поэтому логично, что среди таких совокупностей встречаются пустые, которые не содержат ничего — как пустые коробки.
Не стоит путать пустое множество и ничто — метафизический объект, больше подходящий для философских споров. Пустое множество — это как раз то, внутри чего находится ничто. Это множество, которое не содержит элементов, но это не «ничто».
Для обозначения подобного множества (оно единственно, так как все пустые множества равны), французский математик Андре Вейль (1906–1998) предложил использовать датскую букву
Будем обозначать символом пустое множество, которое не содержит элементов. Его можно определить многими способами, от забавных до вовсе абсурдных, например
Обозначим ноль так:
0 =
и будем говорить, что множество содержит 0 элементов, если между ним и множеством
Для обозначения числа элементов множества А используется следующее выражение: |А|. Также число элементов множества называется его кардинальным числом. Таким образом,
число элементов А = кардинальное число А = |А|.
В целом различают конечные и бесконечные множества, и понятие «число элементов» используется для конечных множеств. Так, конечное множество может иметь 6241 или 123456789012 элементов.
Конечные множества имеют одну особенность: их кардинальное число больше, чем кардинальное число любой из частей множества. Например, если А содержит 7 элементов, любая часть А имеет меньше 7 элементов. Если
А = {гномы из сказки про Белоснежку},
то |A| = 7. Любое подмножество или подгруппа гномов В будет удовлетворять условию |B| < |A| и будет содержать меньше 7 гномов. Эта особенность, которая может показаться тривиальной, на самом деле отличает конечные и бесконечные множества: часть бесконечного множества и само множество целиком могут иметь одинаковые кардинальные числа. Как бы удивительно это ни было, существуют объекты, часть которых содержит столько же элементов, что и целое.
ГОСТИНИЦА С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ НОМЕРОВ
В качестве примера многие математики приводят парадокс гостиницы с бесконечным числом номеров, придуманный немецким математиком Давидом Гильбертом. Он формулируется так. Есть гостиница, владельца которой не пугает толпа народа. Все номера гостиницы пронумерованы от 1 и далее в порядке возрастания. В сезон отпусков гостиница оказалась полностью заполнена, к радости ее владельца. Однако внезапно китайский туроператор прислал срочное сообщение: на следующий день должно приехать множество китайских путешественников. Для всех них нужно найти номера, но никого из уже заселившихся постояльцев выселять нельзя. Владелец отеля прекрасно знает математику и без труда нашел решение. Он попросил всех постояльцев переехать в комнату, номер которой в два раза больше, чем номер прежней комнаты, как показано на рисунке.
В гостинице снова появилось бесконечное число комнат, и всем новоприбывшим путешественникам хватило мест. Счастливый владелец гостиницы с бесконечным числом номеров продолжает работу благодаря своим знаниям о бесконечности.
* * *
Рассмотрим простейший пример бесконечности, образуемой всеми целыми положительными числами, так называемыми натуральными:
