Секреты числа Пи. Почему неразрешима задача о квадратуре круга - [9]
π/4 = 5∙arctg (1/7) + 2∙arctg (3/79).
Банкнота в 50 словенских толаров, на которой изображен Гэорг Вега, а также геометрические построения и фазы Луны. На обороте слева от изображения Солнечной системы можно увидеть фасад Словенской академии наук в Любляне.
Между 1760 и 1800 годами параллельно были получены заслуживающие упоминания результаты. Так, Иоганн Генрих Ламберт (1728–1777), создатель неевклидовой геометрии, в 1761 или 1767 году (точная дата неизвестна) доказал иррациональность числа π. Адриен Мари Лежандр (1752–1833) несколькими годами позже показал, что π>2 также иррационально. Возможно, наиболее значимым является достижение великого Леонарда Эйлера (1707–1783), который искал многочисленные ряды для вычисления π и предположил, что число π является трансцендентным. Гипотеза Эйлера тем примечательнее, что само существование трансцендентных чисел доказал Жозеф Лиувилль (1809–1882) лишь много лет спустя, в 1840 году! Лиувилль также нашел первое трансцендентное число.
ИОГАНН ГЕНРИХ ЛАМБЕРТ (1728–1777)
Этот немецкий математик, астроном и врач изобрел гигрометр и фотометр. Он также первым доказал иррациональность числа тс, но этим его вклад в математику не ограничивается. Он изучал гиперболические функции и связал их с неевклидовой геометрией. Также он внес заметный вклад в картографию, и его имя носит одна из географических проекций. Ламберт был самоучкой, но когда речь заходила о признании его собственных заслуг, скромность покидала его. Фридрих II, сделав математика членом Прусской академии наук, спросил Ламберта, в каких же науках он преуспел. «Во всех», — последовал ответ, близкий к истине. Король с иронией заметил: «Значит, вы разбираетесь и в математике?» — «И в ней тоже», — честно ответил Ламберт. Несколько раздосадованный, Фридрих II продолжил: «И кто же был вашим учителем?» — «Я сам, Ваше Величество!» — и снова Ламберт не погрешил против истины. Король иронично сказал: «Ну и ну! Я стою перед вторым Паскалем!» — «По меньшей мере», — был ответ. Его доказательство иррациональности числа тс достаточно изобретательно и доступно для понимания. С помощью цепных дробей Ламберт показал (это наиболее сложная часть его доказательства), что если х — ненулевое рациональное число, то tg х иррационально. Так как tg π/4 = 1, а единица является рациональным числом, следовательно, π/4 и π являются иррациональными.
* * *
Говоря о вычислении π, мы специально не упоминаем об Эйлере, так как он никогда не добивался рекордной точности вычислений. Вероятно, это случилось лишь потому, что он не уделял этому достаточно внимания: как-то раз, используя формулы Мэчина, он вычислил 20 знаков π всего за час!
В 1841 году Уильям Резерфорд (1798–1871) использовал формулу Мэчина
π/4 = 4∙arctg (1/5) — arctg (1/79) + arctg (1/99).
и получил 208 знаков π, из которых 152 были верными. В 1853 году он вернулся к этой задаче и с помощью формулы Мэчина установил новый рекорд — 440 знаков.
ЧТО ТАКОЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНОЕ ЧИСЛО?
Число называется алгебраическим, если оно является корнем многочлена
a>nx>n + a>n-1x>n-1 +… + a>1x + a>0
все коэффициенты которого а>n, а>n-1…., a>1, а>0 являются рациональными числами. В высшей математике доказывается, что любое число, которое можно получить, используя лишь циркуль и линейку конечное число раз, обязательно является алгебраическим. Неалгебраическое число называется трансцендентным. Таким образом» очевидно, что трансцендентное число нельзя получить построением с помощью циркуля и линейки.
* * *
Иоганн Мартин Захариус Дазе (1824–1861) занимает особое место в истории математики. Его друг Шульц фон Штрасницкий (1803–1852) показал ему следующую формулу Мэчина:
π/4 = arctg (1/2) + arctg (1/5) + arctg (1/8).
и в 1844 году Дазе вычислил с ее помощью 200 знаков π. Невероятно, но на это ему потребовалось лишь два месяца, и все расчеты он производил в уме. Он был настоящим человеком-компьютером и обладал невероятной способностью к вычислениям. Сам Гаусс, известнейший математик своего времени, советовал властям использовать Дазе для расчетов. Была учреждена премия, вручаемая тому, кто получит список делителей чисел N таких, что 7 000 000 < N < 10 000 000. Дазе начал работать над этой задачей, но смерть помешала ему найти решение. Дазе страдал синдромом саванта: он был поразительно одарен в математике, имел невероятную память, но в остальном был весьма и весьма средних способностей. Например, он мог перемножить два восьмизначных числа меньше чем за минуту. Для перемножения 100-значных чисел ему требовалось около девяти часов. Он обладал почти фотографической памятью, что позволяло ему с удивительной точностью пересчитывать любые предметы, будь то овцы, буквы или костяшки домино. Писатель и ученый Артур Кларк в письме к палеонтологу Стивену Джею Гулду задавался вопросом, какую пользу для эволюции биологического вида может иметь способность вычислить в уме 200 знаков числа π. Ответ на этот вопрос нам неизвестен.
В 1847 году датский астроном и математик-самоучка Томас Клаусен (1801–1885), используя две формулы Мэчина:
(1/4)∙π = 2∙arctg (1/3) + arctg (1/7),
