Путеводитель для влюбленных в математику - [38]
Если корень уравнения отрицательный, речь идет об описанной окружности; в случае положительного корня речь идет о вписанной окружности. А теперь другой вопрос: что означает нулевая кривизна? Сама формулировка подсказывает, что «окружность» с нулевой кривизной представляет собой прямую линию[165].
Решение Декарта в 1930-е годы заново открыл Фредерик Содди[166]. Он был настолько поражен элегантностью формулы, что сочинил стихотворение под названием «Прицельный поцелуй». Вот вторая строфа, где зарифмована формула (*):
Есть еще один вариант поцелуя четырех окружностей. На сей раз они будут касаться друг друга попарно, выстроившись в кольцо. Иными словами, касаются первая и вторая окружности, вторая и третья, третья и четвертая, четвертая и первая. Итого мы имеем четыре точки соприкосновения.
Удивительно, но факт: эти четыре точки всегда будут лежать на другой окружности, пятой по счету.
Я завершу эту главу теоремой, доказанной Блезом Паскалем[167].
Расставим на окружности шесть точек: A, B, C, D, E и F. Соединим их отрезками, чтобы возник перекрученный шестиугольник:
A → D → B → F → C → E → A.
Теорема Паскаля говорит о том, что три точки, в которых пересекаются пары отрезков DB и CE, AD и FC, BF и EA (на чертеже они отмечены буквами X, Y, Z соответственно) всегда будут лежать на одной прямой!
Отмечу, что теорема Паскаля верна и в случае шести точек, лежащих на эллипсе[168].
Предположим, все круги имеют радиус 1. Центры четырех соседних кругов расположены на вершинах ромба со стороной 2.
Ромб состоит из двух равносторонних треугольников. Высота равностороннего треугольника[169] со стороной 2 равна √3. Таким образом, площадь треугольников равна
Площадь ромба вдвое больше: 2√3
Теперь давайте подумаем, какой процент площадей кругов покрывает ромб. Два круга покрыты на 1/6 и еще два – на 1/3. Все вместе дает площадь одного круга с радиусом 1, то есть π.
Соотношение покрытой кругами площади к общей площади равно
Глава 16
Платоновы тела
Равносторонний треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех равных между собой отрезков, пересекающихся под углом 60°. Квадрат – фигура, состоящая из четырех равных между собой отрезков, пересекающихся под углом 90°. Это примеры правильных многоугольников – фигур, состоящих из равных между собой прямых отрезков, пересекающихся под равными углами. На рисунке изображен правильный семиугольник (гептагон[170]).
Некоторые дорожные знаки (например, знак «Движение без остановки запрещено») имеют форму правильного восьмиугольника (октагона).
Задумавшись на секунду, мы поймем, что правильных многоугольников бесконечно много: существует правильный n-угольник при любом натуральном n ≥ 3.
Мы вычерчиваем многоугольники на плоскости. А как насчет родственных им фигур в трехмерном пространстве?
«Перешедшие на следующий уровень» многоугольники в трехмерном пространстве называют многогранниками (или полиэдрами). Многогранник – это пространственная фигура с плоскими гранями, каждая из которых представляет собой многоугольник. Среди наиболее известных многогранников – треугольная призма и пирамида с квадратным основанием. Треугольная призма состоит из трех прямоугольников и двух треугольников. Пирамида состоит из четырех треугольников и одного квадрата.
Как расширить идею правильного многоугольника на пространственные фигуры? Правильный многогранник имеет конгруэнтные[171] грани и углы.
Расширение до трех измерений требует, чтобы все части многогранника были конгруэнтны между собой. Таким образом:
– все ребра многогранника равны между собой;
– все углы, под которыми пересекаются два ребра, равны между собой;
– в каждой вершине пересекается одинаковое число ребер;
– все углы между соседними гранями равны между собой.
Из первых двух условий следует, что все грани правильного многогранника конгруэнтны и представляют собой правильные многоугольники.
Наверное, самый известный правильный многогранник – это куб, состоящий из шести граней, каждая из которых представляет собой правильный четырехугольник (квадрат). На рисунке изображены еще четыре правильных многогранника.
• Тетраэдр состоит из 4 равных между собой треугольников.
• Октаэдр состоит из 8 равных между собой треугольников (вообразите, что вы склеили две пирамиды с квадратным основанием).
• Додекаэдр образован 12 правильными пятиугольниками.
• Икосаэдр состоит из 20 равносторонних треугольников.
На рисунке изображены развертки правильных многогранников. Вы можете перерисовать эти фигуры, вырезать их и склеить бумажные модели. В продаже бывают наборы для изготовления правильных многогранников.
