Путеводитель для влюбленных в математику - [36]

²| = |z|² = x² + y². Найдем z²:

z² = (x + yi) × (x + yi) = (x² – y²) + (2xy) i.

Пусть a = x² – y², b = 2xy, c = x² + y². Тогда |a + bi| = c; следовательно, a² + b² = c².

Последний пример: пусть z = 7 + 4i. Его квадрат равен 33 + 56i, абсолютная величина этого числа равна

Еще одна пифагорова тройка: 33, 56, 65.

Я продемонстрировал процедуру поиска пифагоровых троек. Возникает естественный вопрос: все ли пифагоровы тройки можно найти подобным образом? Да, но доказательство этого факта довольно сложное, так что, если вам интересно, я рекомендую обратиться к литературе по теории чисел.

Великая теорема Ферма

Мы рассмотрели тройки целых чисел, удовлетворяющих уравнению теоремы Пифагора. Они лишь косвенным образом связаны с миром прямоугольных треугольников. Сейчас мы полностью перенесемся за пределы геометрии и подумаем о решениях уравнения aⁿ + bⁿ = cⁿ.

Легко найти тройки целых чисел a, b, c, удовлетворяющих соотношению a + b = c. В предыдущем разделе я рассказал о способе поиска троек целых чисел, удовлетворяющих уравнению a² + b² = c². Сейчас нам предстоит перейти к более высоким степеням: можем ли мы найти тройки целых чисел, удовлетворяющих уравнению a³ + b³ = c³, или a⁴ + b⁴ = c⁴, или a⁵ + b⁵ = c⁵ и т. д.?

Вот два неинтересных решения уравнения a³ + b³ = c³:

5³ + 0³ = 5³; 5³ +(–5)³ = 0³.

Куда сложнее найти тройки целых чисел, не равных нулю, которые являются решениями уравнения a³ + b³ = c³. Такие решения называются нетривиальными.

Этот вопрос в 1637 году заинтересовал Пьера Ферма. На полях «Арифметики» Диофанта он сформулировал следующее утверждение: уравнение aⁿ + bⁿ = cⁿ не имеет нетривиальных целочисленных решений при n ≥ 3. Он записал по-латыни знаменитые слова:

Невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него[158].

Это утверждение известно как великая теорема Ферма, хотя сомнительно, что Ферма мог доказать ее. Потребовалось три столетия, прежде чем Эндрю Уайлс[159] нашел доказательство и опубликовал его в середине 1990-х. Он показал, что теорема Ферма верна и уравнение aⁿ + bⁿ = cⁿ не имеет нетривиальных целочисленных решений при n ≥ 3.

Глава 15 Окружности

Окружности изящны и красивы. Глава 15 содержит россыпь любопытных фактов об этих основополагающих геометрических фигурах.

Точное определение

Математики избегают туманных определений, им подавай точность! Окружность – это множество точек на плоскости, равноудаленных от некоторой точки[160]. Давайте распутаем этот клубок.

Прежде всего, окружность представляет собой множество точек. Естественно, не любое множество точек образует окружность. Речь идет лишь об избранных точках. Избранных по какому принципу? Окружность – это множество точек, заданных двумя условиями: положительным числом r и точкой X. Как вы знаете, точку X мы называем центром окружности, а число r – радиусом.

При построении (чернилами на бумаге или пикселями на экране) окружность имеет некоторую толщину, но с математической точки зрения толщина окружности равна нулю.

Окружности – близкие родственники сфер. А что такое сфера? Это множество точек в пространстве, равноудаленных от некоторой точки. Обратите внимание: два определения почти одинаковы, за исключением того, что окружность находится в плоскости.

Уравнение окружности

Точки на плоскости задаются двумя координатами: x и y. Если мы записываем уравнение с двумя переменными, множество точек, чьи координаты удовлетворяют этому уравнению, задают какую-нибудь геометрическую фигуру.

Например, уравнению x² + y² = 1 удовлетворяют некоторые, но не все точки плоскости. Скажем, точка с координатами (1, 0) удовлетворяет уравнению, потому что 1² + 0² = 1. Точно так же точка (3/5, 4/5) тоже удовлетворяет уравнению:

С другой стороны, точка (1/2, 1/2) не удовлетворяет уравнению, потому что

Что можно сказать о точках, удовлетворяющих уравнению x² + y² = 1? Они задают окружность с центром в начале координат и радиусом 1.

Почему? Давайте подумаем о точке (x, y). Она задает прямоугольный треугольник. Проведем перпендикуляры к осям абсцисс и ординат и соединим отрезком нашу точку с началом координат, как показано на рисунке.

Длины катетов треугольника равны x и y, и по теореме Пифагора (см. главу 14) длина гипотенузы равна

Это не что иное, как расстояние от точки (x, y) до точки (0, 0).

Если мы ищем точки, удаленные от начала координат на расстояние 1, они должны удовлетворять условию:

Возведем обе части в квадрат и получим x² + y² = 1!

В общем случае, если центр окружности c радиусом r расположен не в начале координат, а в точке (a, b), она задается уравнением:

(x – a)² + (y – b)² = r².

Треугольники прямо внутри

Любые две несовпадающие точки задают прямую, а вот три точки не обязательно принадлежат одной прямой. Но есть всего одна окружность, которая включает все три точки, не лежащие на одной прямой. Вы узнали из главы 13, что точка пересечения срединных перпендикуляров к сторонам треугольника является центром описанной окружности