Путеводитель для влюбленных в математику [заметки]
1
Кто-то сочтет, что слова «радость» и «красота» неприменимы к математике, но не стоит путать чудесную математику со скучной арифметикой. Мы же не ставим знак равенства между чтением великой литературы и зазубриванием правил орфографии. – Здесь и далее, кроме особенно оговоренных случаев, примечания автора.
2
Доказательство того, что простых чисел бесконечно много, вы обнаружите в главе 1.
3
Годфри Харди (1877–1947) – профессор Оксфордского и Кембриджского университетов, известный своими работами по теории чисел и математическому анализу. – Прим. пер.
4
5
Некоторые главы отсылают к предыдущим, но эта взаимосвязь слабо выражена.
6
Особенная благодарность Дэнни за идею названия книги и Ионе за рисунок подзорной трубы (см. главу 7).
7
Перевод Василия Комаровского (1913). – Прим. пер.
8
Иоганн Кеплер (1571–1630) – немецкий математик, физик, астроном и астролог. – Прим. пер.
9
Тихо Браге (1546–1601) – датский астроном, астролог и алхимик. – Прим. пер.
10
То есть меридиана. – Прим. науч. ред.
11
Стоит отметить, что доказательство – это не просто набор уравнений. Это рассуждение, шаг за шагом ведущее нас от исходных посылок (X и Y – нечетные числа) к неопровержимым выводам (X + Y – четное число).
12
Подсказка. Первый шаг вашего доказательства должен быть таким: «Пусть X и Y – нечетные числа». Заключительный шаг: «Таким образом, XY – нечетное число».
13
Ричард Фейнман (1918–1988) – американский физик-теоретик, один из разработчиков атомной бомбы, лауреат Нобелевской премии 1965 года «за фундаментальные работы по квантовой электродинамике, имевшие глубокие последствия для физики элементарных частиц». – Прим. пер.
14
Вот фраза Фейнмана: «Все вещи состоят из атомов – крохотных частиц; они пребывают в бесконечном движении, притягивая друг друга, когда расстояние между ними невелико, и отталкивая друг друга, когда сжаты вместе».
15
Немного странно изобретать отдельное название для категории чисел, куда входит всего один элемент. На самом деле термин «единичный элемент», или «единица», имеет более широкое значение в сложных областях математики, но в применении к целым числам дает одно-единственное число: 1.
16
По этой причине мы исключили число 1 из множества простых чисел. Простые числа – это неделимые кирпичики; с их помощью мы выстраиваем любое положительное целое число путем умножения. С этой точки зрения число 1 бесполезно.
17
Теорема – это математическое утверждение, которое может быть неопровержимо доказано. Теорема в корне отличается от научной теории, представляющей собой модель или объяснение, которое подтверждается экспериментами. Также теорема отличается от математической теории, представляющей собой совокупность определений и теорем по определенной проблематике.
18
Мы не даем доказательства основной теоремы арифметики. Его можно найти в большинстве книг по теории чисел – области математики, изучающей свойства чисел.
19
Возведение числа в нулевую степень – пример пустого произведения. По определению, 10ⁿ представляет собой результат умножения числа 10 на само себя n раз. В случае n = 0 значение выражения 10>0 равно 1: это результат перемножения при отсутствии элементов!
20
Евклид – автор геометрического трактата «Начала», вершины античной математики. Его научная деятельность протекала в Александрии на рубеже IV и III веков до н. э. – Прим. пер.
21
Подобным образом преступника ловят на лжи. «Вы утверждаете, что были дома в ту ночь, мистер Нулик?» – «Да». – «Чем вы занимались?» – «Телевизор смотрел». – «А вы в курсе, что в тот вечер отключали электричество?» – «Э…» Очевидно, что мистер Нулик в столь поздний час не смотрел телевизор!
22
Представим себе, что последнее простое число равно 13. Тогда N = (2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13) + 1 = 30 031.
23
Есть изощренные методы, позволяющие установить, является число простым или составным. С их помощью можно легко решить эту задачу даже на домашнем компьютере.
24
Вообще говоря, это утверждение надо доказать. В частности, надо доказать, что удалена точно, а не приблизительно треть. – Прим. науч. ред.
25
Дадим зарок не пользоваться ничем, кроме карандаша и бумаги, и попробуем самостоятельно убедиться в том, что перемножать простые числа сравнительно легко, а раскладывать их произведение на множители – сложно. Для начала умножим 227 на 281. Если ни на что не отвлекаться, можно найти шестизначный ответ за пару минут. А теперь попробуйте найти без калькулятора два трехзначных простых множителя числа 211 591. Это не так-то просто. Ответ будет в конце главы.
26
Термин «открытый ключ» означает, что раскрытие алгоритма шифрования – ключ к нему находится в открытом доступе – еще не рассекречивает сообщение. Один из таких алгоритмов изобрели в 1970-е Рон Ривест (Ron Rivest), Ади Шамир (Adi Shamir) и Леонард Адлеман (Leonard Adleman); по первым буквам их фамилий метод назвали RSA.
27
Криптографические системы на основе перемножения простых чисел будут эффективны лишь до тех пор, пока ученые не усовершенствуют квантовые компьютеры, где логические элементы (кубиты) могут находиться в состоянии 0 и 1 одновременно. Теоретически так называемый алгоритм Шора с помощью квантового компьютера способен разложить большое число на простые множители почти так же быстро, как происходит само шифрование. – Прим. пер.
Несмотря на то что математики уже больше ста лет знают, что решение задачи о трисекции угла с помощью слепой линейки и циркуля невозможно, все время находятся энтузиасты, предлагающие очередное «решение». Анализ самых остроумных попыток можно найти в книге Андервуда Дадли «Смета трисекций» (A Budget of Trisections).
Один из них равен – i, потому что (– i) × (– i) × (– i) = (– i)³ = i. Но чему равны другие два? Ответ вы найдете в конце главы.
28
Популярный слоган на футболке математика: «Все люди делятся на 10 категорий: те, кто понимает двоичную систему счисления, и те, кто в ней ничего не смыслит». Когда вы прочтете эту главу, вы тоже сможете шутить в этом духе.
29
Позиционная система счисления – это такая система счисления, в которой значение каждого символа в записи числа зависит от его позиции (разряда). – Прим. пер.
30
Предлагаю вам самостоятельно найти алгоритмы для вычитания и деления.
31
Также говорят: система счисления с основанием 2.
32
Напомним, что показатель степени означает, сколько раз мы перемножаем основание: например, 10³ = 10 × 10 × 10. Естественно, 10>1 = 10. По договоренности, 10>0 = 1. Это логично, так как каждая следующая степень десяти в десять раз больше предыдущей.
33
В англоязычных странах в качестве разделителя разрядов используется запятая, в России – неразрывный пробел, который ставится только в числах с пятью и более разрядами. – Прим. ред.
34
Чтобы отличить запись в двоичной системе от записи в десятичной, мы будем ставить нижний индекс: 1101>2 или 1101>10.
35
В английской традиции записи целую часть десятичного числа от дробной отделяет точка, в русской – запятая. – Прим. ред.
36
В случае с двоичной системой неправильно говорить «десятичная запятая», лучше называть ее двоичной запятой, или запятой в позиционном представлении числа.
37
Программисты нередко пользуются шестнадцатеричной системой счисления. В десятичной системе 10 цифр (от 0 до 9), в шестнадцатеричной нам нужно 16 разных символов, поэтому числа от 10 до 15 обозначают с помощью букв от A до F.
38
До бесконечности (лат.). – Прим. пер.
39
Строго говоря, это утверждение тоже надо доказать. – Прим. науч. ред.
40
Проверьте, насколько хорошо вы усвоили материал, и выразите 0,123123123123… в виде обыкновенной дроби. Ответ в конце главы.
41
Так как делить на ноль нельзя, я имею в виду такие операции, как 7/5.
42
Термин «рациональные числа» происходит от латинского слова ratio, но вовсе не потому, что они, в отличие от прочих, обладают здравым смыслом.
43
Не со всеми: есть физические величины, про которые нет оснований полагать, что отношения между ними выражаются в рациональных числах. Впрочем, как следует из сказанного выше, можно добиться сколь угодно точного приближения рациональными числами. – Прим. науч. ред.
44
Здесь мы рассматриваем исключительно квадратные корни из неотрицательных чисел. В главе 5 мы увидим, что в математике есть область, где можно извлекать квадратный корень из отрицательного числа.
45
Задача о бисекции угла существенно проще. Нет ничего сложного в том, чтобы с помощью циркуля и линейки прочертить луч, разделяющий заданный угол на два равных между собой угла.
46
Пьер Ванцель строго доказал, что задачи об удвоении куба и трисекции угла неразрешимы, в 1837 году.
47
Неразрешимость задачи о квадратуре круга стала ясна в 1882 году, когда Фердинанд фон Линдеман доказал, что число π трансцендентно. – Прим. пер.
48
Пифагор Самосский (VI–V вв. до н. э.) – древнегреческий философ, математик, мистик, основатель религиозного движения пифагорейцев. – Прим. пер.
49
Число 9/8 над стрелкой означает, что частота ноты справа в 9/8 раза больше частоты ноты слева.
50
Подобран венецианскими композиторами и теоретиками музыки в XVI веке. – Прим. пер.
51
Равномерно темперированный строй господствует в европейской музыке с XVIII века, однако его теоретическое обоснование встречается уже в работах XVI века, причем не только в Европе, но и в Китае. – Прим. пер.
52
Доказательство похоже на доказательство того, что значение √2 иррационально. Попробуйте найти его самостоятельно.
53
Мужские вокальные ансамбли в США, исполняющие популярную музыку а капелла. – Прим. пер.
54
Множество всех действительных чисел обозначают ℝ.
55
См. главу 3, где подробнее рассказано о периодических десятичных дробях.
56
Символ i для обозначения мнимой единицы предложил в конце XVIII века Леонард Эйлер, взяв первую букву латинского слова imaginarius – «мнимый». – Прим. пер.
57
На самом деле так называемые действительные числа ничуть не более реальны, чем мнимые. Мы не кладем в чашку кофе минус три кубика сахара и никогда не говорим, что расстояние от пункта A до пункта B равно в точности √2 Действительные числа полезны для измерения таких физических явлений, как температура или площадь. Мнимые числа полезны в других областях физики, включая квантовую механику и электронику. Все числа мнимые в том плане, что созданы нашим сознанием.
58
Строго говоря, в системе действительных чисел должны выполняться соотношения порядка, аксиомы сложения и умножения и свойство полноты. Однако все эти выкладки, конечно, слишком сложны для научно-популярного обзора. – Прим. пер.
59
Вот вам испытание: найдите все кубические корни из i.
60
То есть уравнение вида c>0 + c>1x>1 + … + c>mx>m = 0. – Прим. пер.
61
На языке математики поле – это такое множество, для элементов которого заданы операции сложения и умножения, обладающие набором определенных свойств (так называемые аксиомы поля). Через них можно определить вычитание и деление. Все эти операции не должны выводить за границы данного множества. – Прим. пер.
62
«π» – триллер 1998 года, режиссер Даррен Аронофски. Главный герой фильма занимается теорией чисел. – Прим. пер.
63
Имеется в виду одеколон Pi Givenchy. – Прим. пер.
64
День π отмечают 14 марта (3.14), потому что π ≈ 3,14.
65
Дробь
66
Если повезет, вы найдете их в магазине настольных игр. Правильный 20-гранник называется икосаэдр. См. главу 16.
67
На самом деле достаточно перебрать N(N–1) / 2 вариантов, потому что у пар (k, l) и (l, k), очевидно, будут одинаковые общие делители; ясно также, что число не может быть взаимно простым само с собой. Поэтому достаточно заполнить не весь квадрат, а треугольник выше главной диагонали. – Прим. науч. ред.
68
Леонард Эйлер (1707–1783) – математик, механик, астроном. Работал в Швейцарии, Пруссии и России. Также изучил медицину, химию, ботанику, воздухоплавание, теорию музыки, множество европейских и древних языков. – Прим. пер.
69
Эйлер не называл это число своим именем, но именно он выбрал для него букву е. Подтолкнула ли его к этому гордыня – до сих пор предмет спора историков науки. Как бы то ни было, Эйлер было довольно скромным человеком.
70
Увы, все формулы для е весьма сложны. Это не просто иррациональное число, как √2 (см. главу 4), но и трансцендентное, как π (см. главу 6).
71
Разница в 1 цент объясняется тем, что в первом случае мы каждый раз округляли прибыль до сотых.
72
В первый месяц банк выплатит нам 0,8333 % процента от первоначальной суммы, то есть 8,33 %. Теперь у нас в общей сложности $1008,33.
73
На самом деле длительность года чуть больше 365 дней, но мы упростим расчеты.
74
Экспоненциальная убыль встречается в природе. Пример – радиоактивный распад атомов.
75
Восклицательный знак означает факториал. Подробнее о факториале вы можете прочесть в главе 10.
76
Примечание для тех, кто знаком с логарифмами: для того чтобы выяснить, насколько редко встречаются простые числа, когда мы рассматриваем большие величины, можно посчитать количество простых чисел между 1 и каким-нибудь крупным числом N. Важнейший результат в теории чисел показывает, что чем больше N, тем ближе количество простых чисел между 1 и N к величине
77
Числитель в этом выражении – пример телескопического ряда, где все слагаемые взаимно уничтожаются. Представьте себе складной телескоп, состоящий из нескольких частей. Точно так же слагаемые телескопического ряда вкладываются друг в друга.
78
Я здесь пропускаю множество этапов вывода формулы Эйлера. Я хочу просто объяснить, что значит возводить число в мнимую степень, и дать общую картину доказательства. В полном виде оно включает тригонометрические выкладки и такие сложные вычисления, которым не место в этой книге.
79
Георг Кантор (1845–1918) – немецкий математик, создатель теории множеств. Последние годы провел в психиатрической лечебнице. – Прим. пер.
80
Работы Кантора подвергались нещадной критике как со стороны математиков, так и со стороны философов и теологов. Но спустя некоторое время он добился признания как первооткрыватель новой области математики.
81
Обычно множество обозначают с помощью фигурных скобок.
82
Математики называют взаимно однозначное соответствие биекцией.
83
Нам не обязательно знать все элементы |A| или |B|, чтобы констатировать, что |A| = |B|.
84
Это множество натуральных чисел, его обычно обозначают ℕ. – Прим. науч. ред.
85
Вот две задачки. Какое число будет стоять справа на сотой строке перечня? Какое число слева будет соответствовать числам 100 и –100 справа? Ответ – в конце главы.
86
При первом чтении главы эти два абзаца можно пропустить. Мы уточняем одну техническую деталь, чтобы сделать аргументацию полной и неуязвимой.
87
Символ א обозначает первую букву древнееврейского алфавита: алеф. Символ
88
Вообще говоря, из сказанного это не следует; существование таких чисел надо специально доказывать. – Прим. науч. ред.
89
Этот подход, известный как наивная теория множеств, использовал Кантор и другие математики.
90
Может ли одно множество быть элементом другого? Разумеется! Скажем, множество {1, 2} входит во множество {0, {1, 2}, 3, 6, 7}. В этом множестве пять элементов: числа 0, 3, 6, 7 и множество {1, 2}.
91
Одно из многочисленных достижений Рассела – Нобелевская премия по литературе за 1950 год.
92
Этот парадокс называют антиномией Рассела.
93
Этот подход известен под названием «аксиоматическая теория множеств». Общепринятые правила поведения и формирования множеств названы в честь своих создателей, Эрнста Цермело (Ernst Zermelo) и Абрахама Френкеля (Abraham Fraenkel): ZF-аксиомы.
94
Если хоть одно такое множество существует, |ℝ|>алеф_1. – Прим. науч. ред.
95
Эта глава повествует о знаменитых числах Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 и т. д. Этот ряд был назван в честь Леонардо Пизанского, больше известного как Фибоначчи. (Леонардо Пизанский (1170–1250) – один из первых крупных математиков средневековой Европы. Прозвище Фибоначчи означает «сын Боначчи». Автор «Книги абака», излагающей десятичную систему счисления. – Прим. пер.)
96
В задаче о квадратах и домино мы выяснили: F>1 = 1, а F>2 = 2. Но числа Фибоначчи начинаются с F>0 = 1. Как это согласуется с условиями задачи? Сколько существует способов заполнить на тех же условиях рамку 0 × 1? Длина квадрата и длина костяшки домино, как ни крути, больше нуля, потому есть искушение сказать, что ответ равен нулю, но это не так. Прямоугольник 0 × 1 уже заполнен, там нет щелей; нам не понадобится ни квадрат, ни костяшка домино. Таким образом, есть всего один способ действия: не брать ни квадрата, ни костяшки домино. Понимаете? В таком случае я вас поздравляю. У вас душа математика!
97
Слово «комбинаторный» образовано от существительного «комбинаторика» – названия раздела математики, предметом которого является подсчет вариантов в задачах, схожих с облицовкой прямоугольника. Слово «комбинаторика», в свою очередь, образовано от слова «комбинации».
98
Популярная в США телевикторина. Аналоги Jeopardy! выходят в разных странах; в России это – «Своя игра». – Прим. ред.
99
Число k может принимать значения от 1 до n + 1, но не больше, потому что иначе последняя костяшка домино высунется за пределы рамки.
100
Жак Бинe (1786–1856) – французский математик, механик и астроном. Формула для чисел Фибоначчи названа в честь Бине, хотя почти на сто лет раньше ее вывел Абрахам де Муавр (1667–1754). – Прим. пер.
101
Для читателей, не понаслышке знакомых с интегралами, приведу еще одну эстетически безупречную формулу:
102
Такие числа называют треугольными, потому что они равны сумме объектов, расположенных в форме треугольника:
103
Вы можете проверить эти вычисления на калькуляторе за несколько секунд! Сложите все целые числа от 1 до 10, и вы получите 55.
104
Джеймс Стирлинг – шотландский математик XVIII века.
105
Скажем, в числе 0,053 первая значащая цифра 5. Когда мы говорим о первой значащей цифре, то подразумеваем первую цифру, отличную от нуля.
106
Если измерять рост в футах, почти все результаты будут начинаться с цифр 4, 5 или 6.
107
Я черпаю данные из «Справочника ЦРУ по странам мира». Он доступен в Сети по адресу https://www.cia.gov/library/publications/the-world-factbook.
108
Согласно актуальной версии справочника ЦРУ, в Китайской Народной Республике 1 379 302 771 граждан, в Республике Индия 1 281 935 911, в Республике Науру 9642 (все данные проверены в июле 2017). Наименьшее в мире количество граждан у Ватикана: 1000 человек (проверено в 2017 году). – Прим. пер.
109
Фрэнк Бенфорд (1883–1948) – американский инженер и физик, бо́льшую часть жизни работал в General Electric. – Прим. пер.
110
Саймон Ньюком (1835–1909) – американский астроном, математик и экономист. Работал в Морской академии в Вашингтоне и Военно-морской обсерватории США. Двоюродный прапрадед физика Уильяма Ньюкома (о парадоксе, названном его именем, пойдет речь в главе 23). – Прим. пер.
111
Мы приводим округленные значения. На самом деле ожидаемая частотность для 1 составляет 30,102999566398114…%. Скоро мы растолкуем, откуда берется это значение.
112
Обычно таблица умножения включает 10 строк и 10 столбцов, но умножение на 10 в нашем случае ничем не отличается от умножения на 1, поэтому один столбец мы выпускаем.
113
Можно наглядно увидеть трехмерную таблицу умножения на примере кубика Рубика. Некоторые варианты (например, 4 × 7 × 3 = 84) будут скрыты внутри кубика.
114
В десятимерной таблице умножения 9>10 произведений, то есть чуть меньше 3,5 миллиарда чисел.
115
От лат. mantissa – «прибавка». – Прим. пер.
116
Например, мантисса числа 0,0043 равна 4,3, потому что 0,0043 = 4,3 × 10>–3.
117
Для читателей из стран, где стандартная единица измерения – метр, отмечу, что ярд немного меньше метра, а фут равен одной трети ярда.
118
Помните, что f(3) равно доле величин, мантисса которых меньше 3, а именно 1 или 2. Поэтому мы вычитаем долю измерений, начинающихся на 1.
119
Величина f(9) равна доле величин, мантисса которых меньше 9. Поэтому мы вычитаем долю величин, начинающихся на 1, 2, 3, 4 и 5.
120
Если мы переведем ярды в футы, то b = 3. Для других величин это число другое.
121
Нас ждет прокол, если ab >10 или ab < 1. Эта проблема поддается разрешению, но пока мы просто будем рассматривать только варианты, при которых 1 ≤ ab ≤ 10.
122
Этот раздел должен освежить ваши знания о десятичных логарифмах. Если вы знакомы с темой, можете листать дальше.
123
В оригинале десятичный логарифм обозначен log в соответствии с американской традицией пропускать нижний индекс «10», когда речь идет о десятичном логарифме. В русскоязычной литературе используется обозначение lg(x). – Прим. пер.
124
Возьмите калькулятор, посчитайте обе величины и убедитесь, что я не ошибся.
125
Слово алгоритм происходит от имени персидского математика Аль-Хорезми (IX в. н. э.).
126
Даже эту операцию можно разбить на еще более элементарные. Например, нужно решить, чью тетрадь положить первой – Алисы или Алекса. Я сравниваю первые буквы. Они совпадают. Тогда я сравниваю вторые буквы – они снова совпадают. Третья буква в имени Алисы – «и», третья буква в имени Алекса – «е». Следовательно, тетрадка Алекса должна идти первой.
127
Если мы вычислим среднестатистическое количество операций, то получим средний случай.
128
Описанную процедуру называют сортировкой пузырьковым методом. Диаграмма иллюстрирует один раунд алгоритма.
Обратите внимание: тетрадь A сместилась всего на одну позицию. Нам потребуется еще шесть раундов, чтобы она поднялась наверх.
129
Описанный метод называют сортировкой слиянием. Это хороший пример принципа «разделяй и властвуй»: сложная задача разбивается на несколько задач попроще, а затем решения объединяются.
130
Чарльз Понци – итальянский мошенник, создатель финансовой пирамиды в Бостоне в 1920 году. – Прим. пер.
131
Заметим, что пример не так прост, как кажется: первый раз слово «оскудение» обозначает состояние, а второй раз – процесс. – Прим. науч. ред.
132
Описание будет еще более точным, если мы формализуем процедуру соединения подмножеств, описанную выше.
133
Несколько простых примеров: НОД (10, 15) = 5; НОД (12, 16) = 4; НОД (13, 11) = 1; НОД (10, 20) = 10; НОД (17, 17) = 17.
134
Разложение на множители при поиске НОД (a, b) гораздо эффективнее, чем поиск делителей вплоть до меньшего из двух чисел a и b. Поиск простых множителей числа a потребует самое большее
135
Например, если a = 100 и b = 40, частное q = 2 и остаток c = 20. Иными словами, 100 – 2 × 40 = 20.
136
10 693 = 4 × 2220 + 1813.
137
2220 = 1 × 1813 + 407.
138
1813 = 4 × 407 + 185.
139
407 = 2 × 185 + 37.
140
В главе 6 мы познакомились с концепцией взаимно простых чисел. Вот альтернативное определение: число a взаимно простое с b, если НОД (a, b) = 1. Так как алгоритм Евклида позволяет эффективно вычислить НОД двух чисел, он также позволяет выяснить, являются ли два числа взаимно простыми.
141
Данный метод неэффективен, однако не безнадежен. Мы знаем, что 364 × 286 кратно тому и другому числу. Будем надеяться на то, что набредем на общее кратное поменьше.
142
Мы выведем эту формулу площади треугольника на основании того, что площадь прямоугольника со сторонами a и b равна a × b.
143
Вот другой способ вычислить площадь данного треугольника. Он расположен внутри прямоугольника площадью 8 × 12 = 96. Необходимо вычесть из того числа площади трех «лишних» прямоугольных треугольников. Посчитать их несложно. Площадь треугольника слева
144
Георг Пик (1859–1942) – австрийский математик, профессор Университета Карла-Фердинанда в Праге. – Прим. пер.
145
Как ни странно, некоторые из четырех центров могут лежать вне треугольника! Догадываетесь почему? Ответ – в конце главы.
146
Фрэнк Морли (1860–1937) – заведующий кафедрой в Университете Джонса Хопкинса в Балтиморе, главный редактор American Journal of Mathematics. Он доказал эту теорему в 1899 году, когда изучал свойства кривых, заданных кубическим уравнением. – Прим. пер.
147
Равнобедренным называют такой треугольник, где две стороны равны между собой.
148
Из теоремы Пифагора следует, что диагональ квадрата со стороной 1 равна √2. Дело в том, что диагональ квадрата рассекает его на два прямоугольных треугольника; длина их катетов равна 1, в то время как длина гипотенузы равна некоторой величине c. По теореме Пифагора c² = 1² + 1² = 2. Извлечение квадратного корня дает
149
Это доказательство было найдено Бхаскарой, индийским математиком XII века.
150
Джеймс Гарфилд (1831–1881) был самоучкой, преподавал в школах и вузе, занимался адвокатурой. Воевал на стороне северян, был видным деятелем Республиканской партии. Погиб от руки террориста через три месяца после вступления в должность президента. – Прим. пер.
151
Трапеция – это четырехугольник, в котором две стороны параллельны друг другу, а две другие – нет. Параллельные стороны называют основаниями трапеции. Площадь трапеции можно вычислить по формуле
152
Мы обсуждали комплексные числа в главе 5.
153
В русскоязычной литературе обычно используют термин «модуль». – Прим. пер.
154
Головоломка! Числа 1, –1, i и – i имеют абсолютную величину 1, но это не единственные в своем роде числа. Опишите геометрическим способом все комплексные числа с абсолютной величиной 1. Ответ – в конце главы.
155
Прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 был известен уже древним египтянам.
156
Если хотите, можете пока просто поверить мне на слово, что |z²| = |z|² для всех комплексных чисел. Вскоре вы увидите, как это доказать с помощью несложных алгебраических выкладок.
157
Комплексное число z = x + yi, где x и y – целые числа, называют гауссовым целым числом.
158
Эта история – священный миф математического сообщества, она пересказана во множестве книг и статей. Действительно ли Ферма нашел доказательство? Сомнительно. Более интересный вопрос: Ферма верил, что нашел доказательство, или разыгрывал читателей? Я предпочитаю второй вариант.
159
Сэр Эндрю Джон Уайлс (род. 1953) – британский и американский математик, профессор Оксфордского университета. – Прим. пер.
160
Математики различают окружность (линию) и круг (участок плоскости, ограниченный окружностью). (Точно так же различаются сфера (поверхность) и шар (область пространства, ограниченная сферой). – Прим. науч. ред.)
161
Теперь мы заполняем не поднос консервными банками, а большую коробку шарами одного радиуса. Пример наиболее плотной упаковки вы обнаружите в ближайшем супермаркете в отделе с фруктами, если увидите пирамиду апельсинов.
162
Точное соотношение равно
163
Томас Хэйлс (род. 1958) – профессор Питтсбургского университета. – Прим. пер.
164
Рене Декарт (1596–1650) – французский философ, математик, физик и физиолог, создатель аналитической геометрии и современной алгебраической символики. – Прим. пер.
165
Соответственно, когда кривизна стремится к бесконечности, окружность схлопывается в точку. – Прим. пер.
166
Фредерик Содди (1877–1956) – английский радиохимик, лауреат Нобелевской премии 1921 года «за вклад в химию радиоактивных веществ и за исследование происхождения и природы изотопов». – Прим. пер.
167
Блез Паскаль (1623–1662) – французский математик, физик и философ. – Прим. пер.
168
В общем виде теорема Паскаля формулируется так: если шестиугольник (выпуклый или самопересекающийся) вписан в окружность или любое другое коническое сечение (эллипс, параболу, гиперболу), точки пересечения трех пар противоположных сторон лежат на одной прямой. – Прим. пер.
169
Высота равностороннего треугольника со стороной 2 рассекает его на два прямоугольных треугольника с гипотенузой длиной 2 и катетом длиной 1. По теореме Пифагора мы можем вычислить длину оставшегося катета.
170
Стороны правильного семиугольника имеют равную длину, и углы также равны между собой.
Головоломка. Углы правильного семиугольника равны между собой. Но чему они равны? Подсказка: помните, что сумма углов треугольника равна 180°. Ответ – в конце главы.
171
Отрезки одинаковой длины или углы одинаковой величины называют конгруэнтными. Две фигуры конгруэнтны, если они совпадают при наложении друг на друга.
172
Древнегреческий философ Платон не был первооткрывателем этих пространственных фигур, однако подробно описал их в трактате «Тимей» (около 360 года до н. э.), где сказано, что образцом Вселенной для Демиурга послужил додекаэдр, стихия огня состоит из массы мельчайших тетраэдров, стихия земли – из кубов, стихия воздуха – из октаэдров, стихия воды – из икосаэдров. – Прим. пер.
173
Если вы сосредоточенно изучите таблицу в поисках взаимосвязей, то заметите, что параметры для куба и октаэдра симметричны: (8, 12, 6) и (6, 12, 8). Так же обстоит дело с додекаэдром и икосаэдром: (20, 30, 12) и (12, 30, 20). Эту перекличку называют дуальность.
Если вы расставите точки по центру каждой грани куба и затем соедините точки, образующие пространственные углы, получится новый многогранник внутри куба: октаэдр. И наоборот, если вы расставите точки по центру каждой грани октаэдра и соедините их между собой, получится куб. Та же дуальность связывает икосаэдр и додекаэдр.
174
В неявном виде (как тождество двух форм представления общей суммы углов всех граней) эта формула была доказана Декартом около 1630 г. Содержание утерянной статьи Декарта известно из копии, сделанной Лейбницем в 1676 г. и найденной среди его бумаг в 1860 г. Эйлер независимо открыл формулу в 1752 г. – Прим. науч. ред.
175
Рисунок расплющенного многогранника – хороший пример графа, или математической модели определенной сетевой структуры.
176
Архимедовыми телами называют выпуклые многогранники, все многогранные углы которых равны, а грани представляют собой правильные многоугольники нескольких типов. – Прим. пер.
177
Вацлав Серпинский (1882–1969) – польский математик, профессор Варшавского университета. Известен работами по теории множеств, теории чисел, теории функций, а также топологии. – Прим. пер.
178
Если говорить строго, мы вырезаем треугольник внутри, но не его границы; в конце концов не останется ничего, кроме этих линий.
179
Также известен под названием «салфетка Серпинского» и «решетка Серпинского». – Прим. пер.
180
Обратите внимание, что площадь равностороннего треугольника со стороной 1 не равна 1. Для удобства вычислений мы рассматриваем другой треугольник.
181
Напоминаю: с точки зрения математики окружность – одномерная кривая, а круг – двумерная фигура: часть плоскости внутри окружности и сама окружность.
182
Обратите внимание, что мы записали g как g>1. Это ничего не меняет, но служит неким предзнаменованием.
183
Ранее мы брали за основу равносторонний треугольник. Но он не помещается в квадрат. Поэтому будем рассматривать равнобедренный треугольник с основанием и высотой, равными 1. Принцип построения остается прежним.
184
Увеличение числа клеточек в три раза вытекает из самоподобия треугольника Серпинского. Посмотрите на квадрат с 16 клеточками. Легко заметить, что треугольник Серпинского захватывает 12 клеточек. Теперь посмотрите на следующий квадрат, но не спешите подсчитывать клеточки. Просто обратите внимание, что новый треугольник состоит из трех уменьшенных копий предыдущего. Каждая из них захватывает всё те же 12 клеточек. Общее число клеточек 36. Когда вы переведете взгляд на следующий квадрат, вы снова обнаружите три копии предыдущего треугольника. Очевидно, что они захватывают 108 клеточек.
185
Символ ~ означает примерное равенство, точность которого возрастает с ростом величины переменных.
186
Нильс Фабиан Хельге фон Кох (1870–1924) – шведский математик, специалист по теории чисел. Статья о снежинке Коха вышла в 1904 году. Это один из первых изученных фракталов. – Прим. пер.
187
Все здание современной математики покоится на концепции множеств – неупорядоченного набора объектов (см. главу 8).
188
На самом деле «Начала» Евклида открывает именно раздел определений основных объектов. Например: «точка есть то, что не имеет частей»; «линия – длина без ширины»; «поверхность есть то, что имеет только длину и ширину»; «плоская поверхность есть та, которая равно лежит на всех своих линиях». См.: Начала Евклида. Перевод с греческого и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского при редакционном участии И. Н. Веселовского и М. Я. Выгодского. – М. – Л.: ГТТИ, 1949–1951. – Прим. пер.
189
Евклид определял прямой угол следующим образом: это один из углов, возникающих в том случае, если две прямые пересекаются и все четыре получившихся угла равны.
190
Прямые называют параллельными, если они не имеют точек пересечения. Мы использовали эту аксиому, когда доказывали, что сумма углов треугольника равна 180°.
191
Большинство математиков полагало, что замена постулата о параллельных прямых приведет к противоречию. Николай Лобачевский, математик из России, живший в XIX веке, показал, что предположение (B) ведет не к противоречию, а к геометрии нового типа, названной в его честь геометрией Лобачевского.
192
Таким образом, параллельных прямых в этой системе не существует: всякая пара прямых имеет точку пересечения. Это разительное отличие от евклидовой геометрии.
193
Система из семи точек и семи прямых называется плоскостью Фано.
194
Эту модель гиперболической плоскости называют диском Пуанкаре в честь французского математика Анри Пуанкаре (1854–1912).
195
Если мы возьмем другой масштаб евклидовой плоскости, она не изменится. Гиперболическая плоскость, напротив, преображается при смене масштаба. Число K зависит от него.
196
Разбиение плоскости на многоугольники в математики называют паркетом, мозаикой или замощением. Здесь мы обсуждаем замощение плоскости правильными n-угольниками.
197
Замощение гиперболической плоскости вдохновляло многих художников, среди них наиболее известен Мауриц Эшер.
198
Отношение называется транзитивным, если оно выполняется для пары (А, С) при условии, что выполняется для пар (А, В) и (В, С). Нетранзитивными называют отношения, не удовлетворяющие этому свойству. Например: волк ест козу, коза ест капусту, но волк не ест капусту. – Прим. пер.
199
Инди-культура (от англ. independent – «независимый») противопоставляет себя коммерческому мейнстриму. – Прим. пер.
200
Техасский холдем – одна из самых популярных разновидностей покера с двумя «карманными» (закрытыми) и пятью «общими» (открытыми) картами. Выигрывает наилучший набор из пяти карт, в котором игрок может использовать любые из пяти общих карт и двух своих. – Прим. пер.
201
Стрит (англ. straight – «порядок»): пять карт по порядку любых мастей. – Прим. пер.
202
Флэш (англ. flush – «масть»): пять любых карт одной масти. – Прим. пер.
203
Набор k элементов в произвольном порядке из n элементов в комбинаторике называют сочетанием из n по k и рассчитывают по формуле
В нашем случае
204
Предположим, вы попали в категорию людей, где 25 % поражены болезнью. Какова вероятность того, что вы заражены, если результат тестирования положительный? Ответ – в конце главы.
205
Этот раздел предназначен для тех, кто уже изучал теорию вероятностей и хочет освежить свои знания. Другие читатели могут листать до следующего раздела.
206
По особому случаю (лат.). – Прим. пер.
207
Томас Байес (1702–1761) – британский пресвитерианский священник, богослов и математик. – Прим. пер.
208
В фокусе нашего внимания только те функции, которые преобразуют числа в числа. В целом функции превращают любые математические объекты в любые математические объекты.
209
Отображение – просто синоним термина «функция».
210
Математики называют такие системы динамическими: нам дано начальное состояние и правило, по которому система меняется со временем.
211
Колеблется, пульсирует (от лат. oscillari – качаться). – Прим. пер.
212
Лотар Коллатц (1910–1990) – немецкий математик, специалист по теории аппроксимации. – Прим. пер.
213
Лотар Коллатц выдвинул эту гипотезу в 1937 году.
214
Более сложная система выборов подразумевает, что избиратели отмечают, насколько сильно они предпочитают одного кандидата другому.
215
Мы будем использовать термин «профиль предпочтений» для совокупности индивидуальных голосов.
216
Важно не смешивать метод принятия решения (например, правило большинства) со свойствами, которыми он обладает (например, нейтральность учета голосов). Разные методы могут обладать каким-то одним свойством, но отличаться другими. Мы высвечиваем разницу, используя полужирное начертание для обозначения метода и курсив для обозначения свойства.
217
Отмечу, что правило диктатора удовлетворяет требованию нейтральности учета кандидатов.
218
Вот формальное определение монотонности. Мы называем метод принятия решений монотонным, если перемена решения одного избирателя в пользу победителя не меняет итога выборов.
219
Правило диктатора, конечно, однозначное: оно никогда не заводит в тупик.
220
Кеннет Мэй (1915–1977) – американский математик, экономист и историк математики. Защитил диссертацию по математической теории трудоустройства. Придерживался коммунистических взглядов. – Прим. пер.
221
В терминологии Мэя – нейтральность, анонимность, положительный отклик и однозначность. – Прим. пер.
222
В этом разделе мы рассматриваем выборы, на которых может быть несколько победителей. Нет ничего необычного в том, что из длинного списка выбирают двух и более победителей. Распространенный пример – выборы в школьный совет.
223
Я максимально упрощаю ситуацию Можно себе представить, что избиратель симпатизирует A, равнодушен к B и C и полностью отвергает кандидатуру D. Так или иначе, мы рассчитываем, что избиратель все-таки ранжирует их. Математики рассматривают более сложные ситуации, но мы с вами ограничимся самой простой моделью.
224
Если в выборах участвуют k кандидатов, существует k! возможностей распределения приоритетов (см. главу 10).
225
Этот метод назван в честь Жана-Шарля де Борда, французского математика XVIII века. Подсчет по методу Борда в случае четырех кандидатов делается так: первый приоритет избирателя приносит кандидату 3 очка, второй – 2, третий – 1, четвертый – 0 очков. Количество очков в случае пяти кандидатов будет 4, 3, 2, 1 и 0 соответственно. Обратите внимание, что в случае двух кандидатов метод Борда ничем не отличается от правила большинства.
226
Кеннет Джозеф Эрроу (1921–2017) – американский экономист, лауреат Нобелевской премии по экономике за 1972 год «за новаторский вклад в общую теорию равновесия и теорию благосостояния». – Прим. пер.
227
Точнее, ни один метод не удовлетворяет одновременно четырем критериям: нейтральности учета избиртелей, нейтральности учета кандидатов, монотонности и независимости от посторонних альтернатив. – Прим. науч. ред.
228
Уильям Ньюком (? – 1999) – профессор теоретической физики Ливерморской национальной лаборатории Калифорнийского университета. Двоюродный праправнук астронома и математика Саймона Ньюкома, первооткрывателя закона Бенфорда (см. главу 14). – Прим. пер.
229
Эту головоломку придумал Уильям Ньюком. Впервые она была обнародована в научной статье Роберта Нозика. Широкая аудитория узнала о ней благодаря колонке Мартина Гарднера в журнале Scientific American.
230
Возможно, вы думаете, что 95 % – слишком высокий уровень предсказуемости. Ну и ладно, позже мы понизим оценку до 51 %, и вы увидите, что это нерезультативно. Поэтому, пожалуйста, примите 95 %.
231
Есть еще одно правило, которое я объясню чуть позже.
232
Если вам не нужны деньги, это чудесно, можете пожертвовать их на благотворительность! Но только не оставляйте их на столе.
233
Просто для справки: конечно же, вы обладаете свободой воли. Я не знаю, как вам могло прийти в голову, что это не так!
234
А теперь головоломка: найдите уровень точности предсказаний, при котором обе стратегии дают одинаковый средний выигрыш, и противоречие исчезает. Ответ – в конце главы.
235
На самом деле большинство компьютеров содержит генератор псевдослучайных чисел. Компьютерная программа генерирует случайные величины, но, разумеется, следует четкому алгоритму. В главе 21 рассказано, как детерминированные процессы могут приводить к непредсказуемым результатам.
