Путеводитель для влюбленных в математику - [57]
Игроки покупают билеты стоимостью 1 доллар. Каждый билет дает возможность выбрать три цифры. Тем же вечером выигрышное трехзначное число генерируется случайным образом. Каждый билет с этим числом приносит 500 долларов.
Вопрос: какой ожидаемый выигрыш в лотерее «Выбери три цифры»?
Грубо говоря, никакой. Вероятность того, что мы в точности угадаем заветное число, равна одной тысячной, или 0,01 %. Почти всегда (но все-таки «почти») билет проигрывает.
Но когда об ожидаемом выигрыше говорят на математическом языке, подразумевается средний выигрыш. Как его вычислить?
С вероятностью 0,999 выигрыш по одному билету равен 0 долларов и с вероятностью 0,001 равен 500 долларам. В целом это дает:
0 × 0,999 + 500 × 0,001 = 0,5 доллара.
То есть средний выигрыш равен всего 50 центам.
Вот другой способ прийти к этому числу. Представим, что лотерейщики продали миллион билетов. Каждый билет стоит 1 доллар. Таким образом, выручка составляет миллион долларов. Сколько им придется заплатить?
Заветное число – трехзначное, поэтому резонно предположить, что выиграет где-то один билет на тысячу. Всего будет около 1000 выигрышных билетов, каждый сделает лотерейщиков беднее на 500 долларов. Таким образом, они потеряют в среднем 50 центов с каждого билета.
Применим этот метод анализа к игре Ньюкома. Игрок может взять оба ящика или только ящик № 2. Каков средний выигрыш в каждой ситуации?
• Если вы берете ящик № 2, в 95 % случаев Предсказатель угадывает это и кладет туда 1 000 000 долларов. В 5 % случаев он ошибается, и ящик остается пустым. Таким образом, средний выигрыш равен 1 000 000 × 0,95 + 0 × 0,05 = 950 000 долларов.
• Если вы берете оба ящика, в 95 % случаев ящик № 2 оказывается пуст, а в 5 % случаев там лежит 1 000 000 долларов. В любом случае Игрок получает 1000 долларов из первого ящика. Таким образом, средний выигрыш составляет 1000 × 0,95 + 1 001 000 × 0,5 = 51 000 долларов.
Теперь все ясно. Лучший способ заработать деньги – выбрать только ящик № 2.
Мы пришли к двум неоспоримым выводам. Первый: лучше взять оба ящика (зачем оставлять деньги на столе?). Второй: лучше взять ящик № 2 (есть все шансы стать миллионером). Как такое возможно? Верно должно быть либо то, либо другое.
Мы столкнулись с противоречием. С нами уже такое случалось. В главе 1 мы вообразили число N, которое, как выяснилось, (a) делится на некое простое число и (b) не делится ни на какое простое число. Разумеется, это невозможно. Если мы пришли к противоречию, значит, мы исходили из ложной посылки. Так оно и было: мы предположили, что количество простых чисел конечно, и пришли к двум прямо противоположным выводам. Если вывод абсурден, то изначальное предположение было ошибочным. Неверно, что простые числа можно пересчитать: это приводит к бессмыслице. Таким образом, простых чисел бесконечно много.
Что касается парадокса Ньюкома, мы сделали два неявных допущения.
Первое допущение – относительно Игрока. Может ли он сделать независимый выбор? Обладают ли человеческие существа свободной волей? Разумеется, нельзя (и мы даже не будем пытаться) в точности разрешить эту старую как мир философскую проблему[233].
Второе – относительно Предсказателя. Действительно ли он способен предвидеть поступки другого человека? Ясно, что в целом поведение людей может быть предсказано с большой долей уверенности. Но в нашей игре Предсказатель пытается предугадать выбор одного-единственного индивидуума, а ведь это весьма зыбкая материя. Точность 95 % неправдоподобно высока.
Однако вот что интересно: противоречие не исчезает, даже если Предсказатель прав в 51 % случаев! Аргумент «не оставляйте деньги на столе» по-прежнему не работает. Вот расчет среднего выигрыша:
• Если вы берете только ящик № 2, средний выигрыш составляет 1 000 000 × 0,51 + 0 × 0,49 = 510 000 долларов.
• Если вы берете оба ящика, средний выигрыш составляет 1 000 × 0,51 + 1 001 000 × 0,49 = $491 000 долларов.
Даже если Предсказатель предугадывает ваше решение с точностью 51 %, вам лучше выбрать только ящик № 2! Разница в средних выигрышах на сей раз невелика, поэтому расчеты не вызывают особых эмоций, но выигрышная стратегия остается прежней[234].
Итак, вот два допущения, приводящих к парадоксу:
– Игрок обладает свободой воли;
– Предсказатель предугадывает решение Игрока с высокой точностью.
Иными словами, свобода выбора и уверенное предсказание будущего несовместимы.
Вообразим, что в роли Игрока – компьютерная программа, а в роли Предсказателя – мы, человеческие существа. По правилам, Игроку запрещено играть в орлянку; таким образом, компьютер не должен совершать случайного выбора[235].
У компьютера есть все те же две возможности: выбрать оба ящика или только ящик № 2. Как он поступит?
Мы можем с легкостью предсказать выбор компьютера. Нам нужно всего лишь сделать копию компьютерной программы, запустить на другом компьютере и следить за ее действиями. Наше предсказание будет идеальным (если компьютер не заглючит). Когда игра начнется, мы убедимся в безошибочности предсказания. Практически без исключений выбор двух ящиков принесет компьютеру тысячу долларов, а выбор ящика № 2 принесет миллион долларов.
Послевоенные годы знаменуются решительным наступлением нашего морского рыболовства на открытые, ранее не охваченные промыслом районы Мирового океана. Одним из таких районов стала тропическая Атлантика, прилегающая к берегам Северо-западной Африки, где советские рыбаки в 1958 году впервые подняли свои вымпелы и с успехом приступили к новому для них промыслу замечательной деликатесной рыбы сардины. Но это было не простым делом и потребовало не только напряженного труда рыбаков, но и больших исследований ученых-специалистов.
Настоящая монография посвящена изучению системы исторического образования и исторической науки в рамках сибирского научно-образовательного комплекса второй половины 1920-х – первой половины 1950-х гг. Период сталинизма в истории нашей страны характеризуется определенной дихотомией. С одной стороны, это время диктатуры коммунистической партии во всех сферах жизни советского общества, политических репрессий и идеологических кампаний. С другой стороны, именно в эти годы были заложены базовые институциональные основы развития исторического образования, исторической науки, принципов взаимоотношения исторического сообщества с государством, которые определили это развитие на десятилетия вперед, в том числе сохранившись во многих чертах и до сегодняшнего времени.
Монография посвящена проблеме самоидентификации русской интеллигенции, рассмотренной в историко-философском и историко-культурном срезах. Логически текст состоит из двух частей. В первой рассмотрено становление интеллигенции, начиная с XVIII века и по сегодняшний день, дана проблематизация важнейших тем и идей; вторая раскрывает своеобразную интеллектуальную, духовную, жизненную оппозицию Ф. М. Достоевского и Л. Н. Толстого по отношению к истории, статусу и судьбе русской интеллигенции. Оба писателя, будучи людьми диаметрально противоположных мировоззренческих взглядов, оказались “versus” интеллигентских приемов мышления, идеологии, базовых ценностей и моделей поведения.
Монография протоиерея Георгия Митрофанова, известного историка, доктора богословия, кандидата философских наук, заведующего кафедрой церковной истории Санкт-Петербургской духовной академии, написана на основе кандидатской диссертации автора «Творчество Е. Н. Трубецкого как опыт философского обоснования религиозного мировоззрения» (2008) и посвящена творчеству в области религиозной философии выдающегося отечественного мыслителя князя Евгения Николаевича Трубецкого (1863-1920). В монографии показано, что Е.
Эксперты пророчат, что следующие 50 лет будут определяться взаимоотношениями людей и технологий. Грядущие изобретения, несомненно, изменят нашу жизнь, вопрос состоит в том, до какой степени? Чего мы ждем от новых технологий и что хотим получить с их помощью? Как они изменят сферу медиа, экономику, здравоохранение, образование и нашу повседневную жизнь в целом? Ричард Уотсон призывает задуматься о современном обществе и представить, какой мир мы хотим создать в будущем. Он доступно и интересно исследует возможное влияние технологий на все сферы нашей жизни.
Что такое, в сущности, лес, откуда у людей с ним такая тесная связь? Для человека это не просто источник сырья или зеленый фитнес-центр – лес может стать местом духовных исканий, служить исцелению и просвещению. Биолог, эколог и журналист Адриане Лохнер рассматривает лес с культурно-исторической и с научной точек зрения. Вы узнаете, как устроена лесная экосистема, познакомитесь с различными типами леса, характеризующимися по составу видов деревьев и по условиям окружающей среды, а также с видами лесопользования и с некоторыми аспектами охраны лесов. «Когда видишь зеленые вершины холмов, которые волнами катятся до горизонта, вдруг охватывает оптимизм.