Путеводитель для влюбленных в математику - [39]
Пять правильных многогранников известны под названием платоновы тела[172]. Существуют ли другие правильные многогранники?
На рисунке вы видите звездчатый икосаэдр, чьи грани представляют собой равносторонние треугольники, однако эта пространственная фигура не является правильным многогранником, потому что не все грани пересекаются под равными углами, и не во всех вершинах пересекается одинаковое число ребер (при острых углах пересекаются три ребра, а в звездчатом центре – десять ребер).
Найти другие правильные многогранники нам поможет чудесная формула, названная в честь Леонарда Эйлера (мы впервые познакомились с ним в главе 7).
У многоугольника столько же углов, сколько сторон. Ситуация с многогранниками сложнее: у них есть вершины, ребра и грани. В таблице указано, сколько каких элементов есть у многогранников, с которыми мы познакомились в этой главе:
Изучите таблицу повнимательней. Видите ли вы взаимосвязь между количеством вершин, ребер и граней? Она есть, и достаточно простая. Ответ вы найдете ниже, но гораздо интереснее вывести формулу самостоятельно. Обозначьте количество вершин, ребер и граней буквами V, E и F соответственно[173].
А пока вы размышляете над выводом формулы соотношения между V, E и F, я сверю данные в таблице. Для простой пространственной фигуры (например, для пирамиды) посчитать количество составляющих ее частей несложно: пять вершин (четыре у основания и одна сверху), восемь ребер (опять-таки четыре у основания и еще четыре, ведущие наверх) и пять граней (четыре треугольника, один квадрат). Тетраэдр и призма тоже не вызывают затруднений. О кубе и говорить нечего – все мы с ним знакомы. У куба восемь вершин (четыре снизу, четыре сверху), 12 ребер (четыре внизу, четыре вверху и четыре вертикальных), 6 граней (мы все играли в кости).
Другие многогранники сложнее себе представить. Ради простоты можно расплющить их следующим образом: представьте, что многогранник пустой изнутри и мы вырезаем ножницами одну из граней, а потом растягиваем многогранник, пока он не станет плоским. На рисунке показано, что получится в итоге.
Начнем с октаэдра. На рисунке ясно видно: V = 6. Во время подсчета граней легко ошибиться и сказать, что их семь, но не будем забывать об одной вырезанной грани. Таким образом, F = 8.
А вот маленький трюк для подсчета ребер. Пометьте штрихом ребра, сходящиеся у каждой вершины, таким образом:
Сколько штрихов на рисунке? У каждой вершины сходятся по четыре ребра, поэтому количество штрихов в четыре раза больше количества вершин: 4 × V = 4 × 6 = 24. С другой стороны, на каждом ребре по два штриха, и если количество штрихов равно 2E, то E = 12.
Продолжим в том же духе с икосаэдром. На плоском рисунке мы видим три вершины у острых углов, шесть, образующих правильный шестиугольник, и еще три в центре. Итого V = 3 + 6 + 3 = 12. Посчитаем грани: 9 треугольников на плоском рисунке имеют вершины при острых углах, вершины еще 9 совпадают с вершинами шестиугольника, плюс еще один треугольник лежит в сердцевине. Итого 9 + 9 + 1 = 19, и не будем забывать про вырезанную грань; таким образом, F = 20. Для подсчета ребер мы используем трюк со штрихами. Пометив ребра, сходящиеся у вершин, мы нанесем в общей сложности 5 × 12 = 60 штрихов, по пять около каждой вершины. Поскольку на каждом ребре оказалось по два штриха, E = 30.
Пришло время вернуться к великолепной формуле, показывающей соотношение вершин, ребер и граней многогранников; впервые она была открыта Эйлером[174], а теперь (я надеюсь) ее заново открыли вы.
Отмечу, что сумма количества вершин и граней на 2 больше количества ребер. Например, у куба V = 8, а F = 6, следовательно, V + F = 14, что на 2 больше E = 12. Таким образом, V + F = E + 2. Обычно формулу Эйлера записывают следующим образом:
V – E + F = 2. (A)
Посмотрим, как это работает.
Мы расплющили наши многогранники[175], вынув одну грань и растянув то, что осталось. Количество областей на плоском рисунке в точности равно количеству граней F: вынутая грань соответствует всему контуру целиком, другие грани соответствуют контурам внутри. Таким образом, количество вершин, ребер и областей равно V, E и F соответственно. Алгебраическое выражение V – E + F имеет определенное числовое значение; сейчас я постараюсь убедить вас, что оно неизменно равно 2.
Для начала я сотру одно ребро. Что произойдет с количеством вершин, ребер и областей? Количество вершин не поменялось – я всего лишь стер ребро. Количество ребер, естественно, уменьшилось на 1. А что произошло с количеством граней? Как можно видеть на рисунке, две грани по обе стороны исчезнувшего ребра слились в одну грань, так что количество граней уменьшилось на единицу.
Обозначим количество вершин/ребер/граней на новом рисунке через V', E' и F'. Что мы имеем?
V' = V,
E' = E – 1,
F' = F – 1.
Следовательно, V' – E' + F' = V – (E – 1) + (F – 1) = V – E + F.
Если я докажу, что V' – E' + F' = 2, то и V – E + F = 2.
Моя стратегия такова: я стану стирать всё новые и новые ребра. Всякий раз количество ребер и количество граней будет уменьшаться на единицу. Но мне следует проявить осторожность. Рано или поздно я дойду до ребра, слева и справа от которого будет одна и та же область; поглядите на жирную черточку на рисунке. Я не должен стирать ребра таким образом, чтобы рисунок оказался разбит на несколько не связанных между собою замкнутых областей.
