Путеводитель для влюбленных в математику - [25]
Если мы сложим все эти 20 чисел, результат будет равен удвоенному T>10. Но мы не станем сразу суммировать числа по горизонтали. Для начала сложим их попарно по вертикали:
В нижней строке все элементы равны 11, потому ответ прост[103]: 11 × 10 = 110. Теперь поделим этот результат пополам: T>10 = 110 / 2 = 55.
Как мы будем действовать в общем случае? Для вычисления T>N запишем целые числа от 1 до N в возрастающем и убывающем порядке и сложим пару в каждом столбце:
В нижней строке N элементов, каждый равен N + 1; таким образом, их сумма равна N × (N + 1). Поскольку это «двойная порция» T>N, получается:
Для вычисления T>100 нет необходимости складывать сотню чисел. Нужно лишь посчитать:
(100 × 101) / 2 = 5050.
Вот и ответ.
Существует ли простая, элегантная формула вычисления факториала? Увы, нет. Однако есть формула для вычисления приближенного значения факториала, выведенная Джеймсом Стирлингом[104]:
Эта формула включает два замечательных числа, о которых шла речь в предыдущих главах: π ≈ 3,14159, представляющее собой частное от деления длины окружности на ее радиус (см. главу 6), и число Эйлера e ≈ 2,71828 (см. главу 7).
Точность формулы Стирлинга возрастает при больших значениях N. Например, для N = 10 факториал 10! = 3 628 800, а вычисления по формуле (C) дают 3 598 695,6187. Погрешность – всего около 0,8 %.
Для N = 20 мы получаем:
20! = 2 432 902 008 176 640 000.
По формуле (C):
20! = 2 422 786 846 761 133 393,6839075390.
Погрешность равна около 0,4 %. Если мы перепрыгнем к N = 1000, погрешность составит менее 0,01 %.
Число 145 называют факторионом, потому что оно обладает волшебным свойством. Если мы сложим факториалы составляющих его цифр, то получим то же самое число:
1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145.
Числа 1 и 2 тоже являются факторионами (но не ноль, как мы увидим чуть позже). Существует всего четыре факториона. Попробуйте самостоятельно найти четвертый.
Это сложновато без компьютерной программы. Ответ приведен в конце главы.
Многие испытывают необоримое желание ответить: «0! равен нулю!» (Второй восклицательный знак всего лишь подчеркивает экспрессивность этой фразы.) Первый множитель в N! равен N, а умножение на ноль дает ноль. Однако математики договорились, что 0! = 1, и я завершу главу разъяснением этого факта.
В главе 1 мы обсудили концепцию пустого произведения – умножения при отсутствии элементов. Факториал нуля – пример пустого произведения. Для любого N факториал представляет собой результат перемножения N элементов. Это ясно для положительных значений N, но это верно и для N = 0. По определению, при подсчете N! мы перемножаем все целые числа от 1 до N. В случае N = 0 таких чисел просто-напросто нет, и произведение оказывается пустым. По договоренности, пустое произведение равно 1.
А вот еще одно обоснование того, почему 0! = 1. При подстановке N = 1 в формулу (B) мы получаем:
N! = N × (N – 1)! => 1! = 1 × 0!
Поскольку 1! = 1, мы получаем 0! = 1.
А теперь давайте вернемся к расстановке книг на полке. Сколькими способами можно расставить на полке ноль книг? Есть один-единственный вариант: оставить полку пустой.
Глава 11
Закон Бенфорда
Для нас очевидно, что все цифры сотворены равными. Нет, мы не имеем в виду «равными друг другу» – разумеется, нет! Но внутри нас теплится вера в то, что все десять цифр, от 0 до 9, играют одинаковые роли в мире чисел.
Печальная правда заключается в том, что числа могут быть такими же нескромными, как люди: они все стремятся к первенству. Представьте, что вам приглянулась вещь стоимостью 43,52 доллара. Какая из цифр кажется вам более значимой? Важнее всего для вас цифра четыре, а двойка на конце не играет почти никакой роли. Вы встревожитесь, если четверка вдруг изменится на девятку, а если изменится двойка, вряд ли вас это сильно взволнует.
Тот, кто ждет от Вселенной справедливости, должен верить, что у всех цифр одинаковые шансы сыграть значимую роль, – но бедный, бедный нолик! Он не становится первой значащей цифрой, честь выпала на долю других[105]. Все они стремятся быть значительней остальных настолько часто, насколько это возможно.
Мы верим, что цифры от 1 до 9 участвуют в математике на равных правах и каждая начинает одну девятую часть всех существующих чисел (примерно 11 %). Разумеется, не может быть большего количества чисел, начинающихся с двойки, чем с пятерки.
Ведь так?
Утверждение о том, что все цифры от 1 до 9 равно представлены в качестве первой значащей цифры, приобретает смысл, если иметь в виду определенный диапазон чисел: скажем, от 1 до 999 999. В этом случае все цифры от 1 до 9 одинаково часто занимают место первой значащей цифры.
Разумеется, на результат влияет, какой именно диапазон мы выбрали. Если мы посмотрим на другой ряд чисел, скажем от 1 до 19, то обнаружим, что здесь все цифры от 2 до 9 занимают первую позицию всего единожды, в то время как 1 становится первой значащей цифрой в 11 случаях.
Ради беспристрастности давайте возьмем какие-нибудь величины из внешнего мира. Мы должны быть аккуратными и не искать числа, сконцентрированные в узком диапазоне. Поэтому мы не станем брать такой параметр, как рост взрослого человека
