Путеводитель для влюбленных в математику - [21]

. Определение множества и ∈ входит в свод правил непрямым образом. Мы не объясняем, что́ это; мы просто описываем, как оно себя проявляет. Мы говорим, что есть такие вещи, как множества, у них есть определенные свойства, а еще есть правила, по которым мы с ними работаем. Эти правила не позволили парадоксу Рассела вздыбить свою безобразную голову, и противоречий больше не возникало.

Но вернемся к вопросу: сколько всего действительных чисел? Мы знаем, что мощность множества положительных целых чисел равна

И мы знаем, что

Следует ли из этого, что

Иными словами, существуют ли множества, чья мощность больше, чем ℤ⁺, но меньше, чем ℝ?[94] Кантор верил, что

но не мог найти доказательство; свое предположение он назвал континуум-гипотезой. Многие ученые заинтересовались этим вопросом. В 1900-е годы немецкий математик Давид Гильберт составил перечень важнейших математических проблем наступающего XX века. Доказательство (или опровержение) континуум-гипотезы вошло в его перечень первым номером.

Эту главную для Гильберта проблему разрешили неожиданным образом. Короткий, но исчерпывающий ответ звучит следующим образом: «Может быть и так, и этак».

Ну и ну! Математику ценят за то, что на все вопросы (обычно) находится точный ответ. «Может быть и так, и этак» разрушает определенность. Как с этим жить?

Работы Курта Гёделя (1940-х годов) и Пола Коэна (1960-х) показали, что общепринятые правила аксиоматической теории множеств неполны и потому не позволяют ответить на поставленный вопрос. Точнее говоря, эти математики продемонстрировали: нельзя ни доказать, ни опровергнуть то, что существуют множества, чья мощность больше, чем ℤ⁺, но меньше, чем ℝ. Другими словами, можно принять или допущение

или допущение

Дальше мы получим две разные математические системы. Обе корректны, просто непохожи друг на друга.

Глава 9 Числа Фибоначчи [95]

Квадраты и домино

Начнем с укладки квадратов и домино. Вообразим длинную горизонтальную рамку размерами 1 × 10. Мы хотим полностью заполнить ее квадратами 1 × 1 и костяшками домино 1 × 2, не оставив ни единой щели. Вот картинка:

Вопрос: сколькими способами это можно сделать?

Для удобства обозначим число вариантов F₁₀. Перебирать их все и потом пересчитывать – тяжелый труд, чреватый ошибками. Гораздо лучше упростить задачу.

Не будем с места в карьер искать F₁₀, начнем с F₁. Это проще простого! Нам нужно заполнить рамку 1 × 1 квадратами 1 × 1 и костяшками домино 1 × 2. Домино не поместится, остается единственное решение: взять один квадрат. Другими словами, F₁ = 1.

Теперь разберемся с F₂. Размер рамки 1 × 2. Можно заполнить ее двумя квадратами или одной костяшкой домино. Таким образом, есть два варианта, и F₂ = 2.

Дальше: сколькими способами можно заполнить рамку 1 × 3? Первый вариант: три квадрата. Два других варианта: одна костяшка домино (две не влезут) и квадрат слева или справа. Итак, F₃ = 3.

Еще один шаг: возьмем рамку 1 × 4. На рисунке показаны все варианты заполнения:

Мы нашли пять возможностей, но где гарантия, что мы ничего не упустили? Есть способ проверить себя.

В левом конце рамки может быть или квадрат, или костяшка домино. В верхнем ряду на рисунке – варианты, когда слева квадрат, в нижнем ряду – когда слева домино.

Допустим, слева квадрат. Оставшуюся часть нужно заполнить квадратами и домино. Другими словами, нужно заполнить рамку 1 × 3. Это дает 3 варианта, так как F₃ = 3.

Если слева домино, размер оставшейся части 1 × 2, и заполнить ее можно двумя вариантами, так как F₂ = 2.

Таким образом, у нас есть 3 + 2 = 5 вариантов, и мы удостоверились, что F₄ = 5.

Теперь ваша очередь. Подумайте пару минут и найдите все варианты заполнения для рамки 1 × 5. Их немного. Решение – в конце главы. Можете отвлечься и подумать.

Вернемся к нашим квадратам. Хочется верить, что вы нашли 8 вариантов, так как есть 5 способов укладки, где слева квадрат, и еще 3 способа, где слева домино. Таким образом, F₅ = 8.

Подытожим. Мы обозначили F_N количество способов заполнения рамки 1 × n квадратами и костяшками домино. Нам необходимо найти F₁₀. Вот что мы уже знаем:

Двигаемся дальше. Чему равно F₆? Можно нарисовать все варианты, но это скучно. Лучше разобьем вопрос на две части. Сколькими способами можно заполнить рамку 1 × 6, если слева (a) квадрат и (b) костяшка домино? Хорошая новость: мы уже знаем ответ!

В первом случае нам остается пять квадратов, а мы знаем, что F₅ = 8. Во втором случае нужно заполнить четыре квадрата; нам известно, что F₄ = 5. Таким образом, F₅ + F₄ = 13.

Чему равно F₇? Исходя из тех же соображений, F₇ = F₆ + F₅ = 13 + 8 = 21. А как насчет F₈? Очевидно, F₈ = F₇ + F₆ = 21 + 13 = 34. И так далее. Мы обнаружили следующую взаимосвязь:

F_n = F_{n– 1} + F_{n –2}.

Еще несколько шагов – и мы найдем искомое число F₁₀. Правильный ответ – в конце главы.

Числа Фибоначчи

Числа Фибоначчи – это последовательность:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

Она выстраивается по таким правилам:

– первые два числа 1 и 1;

– каждое следующее число получаем сложением двух предыдущих.

Будем обозначать n-ный элемент последовательности F_n, начиная с нуля: