Путеводитель для влюбленных в математику - [20]

. Целых положительных чисел недостаточно, чтобы по одному сопоставить их со всеми действительными.

Мощность конечного множества – это число. Мощность множества A = {1, 3, 7, 9} равна четырем: |A| = 4. Но как зафиксировать мощность бесконечного множества? До выкладок Кантора математики довольствовались красивым символом ∞. Есть искушение написать: |ℤ⁺| = ∞ и |ℝ| = ∞, а затем сделать ошибочное заключение, что |ℤ⁺| = |ℝ|. Символ ∞ не передает всех особенностей, присущих мощностям бесконечных множеств.

Кантор решил исправить это и разработал новую систему чисел за пределами конечных. Такие числа называются трансфинитными и могут отразить мощность бесконечных множеств.

Мы выяснили, что ℤ⁺ – «наименьшее» бесконечное множество. Что это означает? Предположим, X – бесконечное множество. Между X и ℤ⁺ может быть биекция, а может и не быть. Но математики показали, что всегда есть взаимно однозначное соответствие между ℤ⁺ и некоторой частью множества X: либо ℤ⁺ и X равновелики, либо ℤ⁺ равновелико с частью множества X. Грубо говоря, либо ℤ⁺ и X имеют одинаковый размер, либо X больше.

Множества мощности ℤ⁺ называют счетными. Это самые маленькие бесконечные множества. Кантор ввел символ для обозначения их мощности:

Мощности ℤ и ℤ⁺ совпадают, потому

Так как ℝ обширнее, чем ℤ⁺, логичным будет записать: Величина обозначает мощность бесконечного множества, и это не обычное число. Его называют трансфинитным числом, причем  – наименьшее из трансфинитных чисел[87].

Мощности бесконечных множеств описывает целая вселенная трансфинитных чисел. Множества мощностью больше

называют несчетными, и математики показали, что есть новый «уровень бесконечности», на ступень выше Мы можем доказать, что существует множество X, которое обладает двумя свойствами:

1.

2. Нет множеств с мощностью между |X| и

Таким множествам присвоили мощность

Иначе говоря,

и между этими двумя величинами нет других трансфинитных чисел.

Существует целая последовательность трансфинитных чисел. Она выглядит следующим образом:

и т. д. Иерархия подразумевает, что есть трансфинитное число, превышающее любое א_k[88]. Наименьшее трансфинитное число, превышающее любое א_k, мы обозначаем א_ω, и есть бесконечно много еще больших чисел!

Где в этой схеме находится ℝ? Мы выяснили, что

Но можем ли мы определить мощность ℝ в точности? Сколько всего действительных чисел?

Тайна семьи множеств

Вообразите: вы переступаете порог великолепного сооружения. За огромными воротами – мраморная лестница, ведущая в дивные палаты. Но стоит вам открыть дверь в подвал, как картина резко переменится. Там вы обнаружите ржавые трубы, искрящую проводку, бьющий в глаза электрический свет и разбитый пол, а может, и скопища тараканов. Подвал ужасен, но здания наверху без него не было бы.

Это хорошая метафора для сооружения под названием «математика». Как мы уже говорили в начале главы, все объекты в математике (от чисел до кругов) можно определить через другие объекты, попроще. Рано или поздно мы дойдем до самого дна и обнаружим объект, через который объясняются все другие. Это и будет множество.

Мы определили множество как набор объектов[89], но не сказали, что такое набор (в общем-то, это просто другое слово вместо «множества»), и не задались вопросом, какого рода объекты мы собираем вместе (и даже не дали определение объекта). Как нам выпутаться из этой ситуации?

Вначале математики относились к ней довольно беззаботно. Говорили просто: есть такая штука – множество и есть свойство «быть элементом множества», которое обозначают символом, а раз так, то можно двигаться дальше[90]. Но все это рано или поздно приводит к затруднениям.

Первое множество, приходящее нам в голову, – пустое множество. Там нет никаких элементов, и мы обозначаем его символом ∅. Мощность пустого множества равна нулю, и утверждение x ∈ ∅ ложно для любого x (потому что внутри ∅ ничего нет).

Дальше нам приходит в голову, что множества можно характеризовать через свойства их элементов. Например, множество четных чисел задают следующим образом:

Форма записи {x | свойства x} определяет множество всех объектов, обладающих указанными свойствами.

А дальше возникает уйма сложностей.

В начале XX века философ и математик Бертран Рассел[91] размышлял о множестве A = {x | x – такое множество, что x ∉ x}.

Это множество всех множеств, чьими элементами не являются они сами. Например, пустое множество удовлетворяет условию: ∅ ∉ ∅, потому что пустое множество не содержит элементов. Таким образом, ∅ ∈ A.

Дальше Рассел задал роковой вопрос: входит ли множество A во множество A?

• Если ответ «да», то A∈A. Но тогда не выполняется условие попадания во множество A: оно не должно быть элементом самого себя.

• Если ответ «нет», то A∉A. Тогда выполняется условие попадания во множество A, и оно является элементом самого себя.

Если A∈A, то A∉A. Если A∉A, то A∈A. Но не может же такого быть, что A и входит, и не входит в A! Что-то пошло не так[92].

Одно из решений этого противоречия заключается в том, что множества A просто не существует. Нет его, и все тут.

После работ Рассела подход к теории множеств претерпел существенные изменения. Четкие, ясные, применимые на практике правила закрепили, как формировать множества и какие операции с ними можно совершать