По следам бесконечности - [25]
На первый взгляд, такое утверждение представляется довольно тривиальным. В самом деле, если в школе есть, скажем, десять шестых классов и в каждом из них по 30–40 человек, то нет абсолютно ничего сложного в том, чтобы составить множество, и далеко не единственное, в которое войдет по одному представителю из каждого класса.
Да, действительно, для конечных множеств все получается очень просто. В сущности, в этом случае аксиома выбора — уже не аксиома, ее можно совершенно строго доказать.
Но вот, можно ли ее автоматически обобщить на случай бесконечных множеств, далеко не очевидно. Этот вопрос не мог не волновать математиков, хотя бы уже потому, что из аксиомы выбора непосредственно следует справедливость предположения Кантора об отсутствии промежуточных мощностей между счетным множеством и континуумом.
Вопрос стоял так; противоречит или не противоречит аксиома выбора другим исходным аксиомам теории множеств? После многолетних усилий ряда ученых в 1938–1948 гг. Курт Гёдель наконец нашел ответ на этот вопрос: аксиома выбора независима от других аксиом теории множеств и не вступает с ними в противоречие. А это означало, что континуум-гипотезу Кантора нельзя опровергнуть.
Но тем самым сложилась ситуация, весьма напоминающая знаменитую историю с пятым постулатом Эвклида и чреватая далеко идущими последствиями.
Среди основополагающих аксиом эвклидовой геометрии есть одна аксиома, посвященная вопросу о параллельных и хорошо известная каждому школьнику. Эта аксиома — пятый постулат — утверждает, что через точку, расположенную вне прямой линии, можно провести лишь единственную прямую, параллельную данной. Это утверждение, согласующееся с нашим повседневным опытом, в течение длительного времени считалось вполне очевидным и не вызывало никаких сомнений. Правда, неоднократно делались попытки доказать пятый постулат, вывести его из других аксиом; однако эти попытки не приносили успеха, хотя подобными исследованиями занимались такие выдающиеся математики, как Лагранж, Лаплас, Даламбер, Фурье, Гаусс и многие другие.
Так продолжалось до тех пор, пока проблемой не заинтересовался наш соотечественник Н. И. Лобачевский (1792–1856). Он предпринял попытку построить такую геометрию, все аксиомы которой были бы тождественны обычным, но пятый постулат заменен другим: через точку, лежащую вне прямой, можно провести сколько угодно линий, ей параллельных.
Лобачевский рассуждал так: если подобное предположение неверно, оно неизбежно приведет к противоречию, и утверждение Эвклида о параллельных прямых будет тем самым доказано.
Однако никаких противоречий не возникло: оказалось, что с помощью системы аксиом, выбранной Лобачевским, тоже может быть построена вполне непротиворечивая геометрия.
Как известно, открытие Лобачевского совершило подлинный переворот в математических представлениях. Оно не только указало принципиально новые пути для развития самой математики, но. и дало чрезвычайно важный толчок к новому пониманию роли математических и, в частности, геометрических методов в изучении окружающего нас мира.
Если эвклидова геометрия не единственная возможная геометрическая система, то вполне вероятно, что и геометрические свойства Вселенной могут выходить за рамки этой системы.
По существу, это был первый шаг к новой картине мира, построенной впоследствии теорией относительности.
В 1962–1964 гг. П. Коэн осуществил последний и самый важный шаг в решении проблемы континуума. Ему удалось доказать, что система аксиом Цермелло — Френкеля остается непротиворечивой и в том случае, если заменить аксиому выбора другой аксиомой, противоположной по содержанию. В этой системе аксиом не выполняется и континуум-гипотеза Кантора, что также не приводит ни к каким противоречиям.
Многие считают, что открытие Коэна является одним из самых выдающихся достижений естественных наук во второй половине текущего столетия, и его можно сравнить с такими научными свершениями, как, скажем, открытие квазаров и пульсаров в астрономии или крушение закона «четности» в физике.
Ведь из работы Коэна следует, что может быть построена вполне непротиворечивая математика, в которой ни аксиома выбора, ни континуум-гипотеза не выполняются. И если обычная математика — это математика упорядоченного мира, то новая, о которой идет речь, — это математика мира, не поддающегося упорядочению. Вопрос: в какой степени такая математика отражает свойства реальной Вселенной, существуют ли в природе физические условия, которые ей соответствуют?
Заранее предугадать ответ на этот вопрос, разумеется, невозможно, его может дать только дальнейшее изучение реального мира.
Но сам по себе вопрос этот вполне законный. Хотя математические теории часто развиваются по своей внутренней логике и потому кажутся иной раз совершенно оторванными от реальности, в конечном счете в их основе лежат те или иные объективные факты. И поэтому тесная связь между математическими представлениями и развитием физической картины мира — связь, которую мы обнаруживаем буквально на всех этапах истории естествознания, далеко не случайна.
Совершенно отчетливо проглядывает эта связь и в исследовании проблемы бесконечности Вселенной, в изучении геометрических свойств окружающего нас мира.
В остросюжетном научно-фантастическом романе «По следам Неведомого» рассказывается о поисках в Гималаях следов посещения Земли «пришельцами с другой планеты».Послесловие проф. Д.Я. Мартынова.
«ИСКАТЕЛЬ» — советский и российский литературный альманах. Издается с 1961 года. Публикует фантастические, приключенческие, детективные, военно-патриотические произведения, научно-популярные очерки и статьи. В 1961–1996 годах — литературное приложение к журналу «Вокруг света», с 1996 года — независимое издание.В 1961–1996 годах выходил шесть раз в год, в 1997–2002 годах — ежемесячно; с 2003 года выходит непериодически.
Таинственное, на первый взгляд необъяснимое, встречается и в жизни и в науке.Грозные, поражающие воображение явления природы, необыкновенные случаи, происшествия, граничащие с чудесами… Что это — проявление сверхъестественных сил, «божественный промысел»?Книга «По ту сторону тайны» убедительно показывает, что любые явления окружающего нас мира всегда имеют естественную причину, учит материалистическому пониманию мира, помогает разоблачать невежество и суеверие.
Известный ученый и публицист В.Н. Комаров в своей книге размышляет над тайнами пространства и времени – самыми загадочными в ряду тайн мироздания.
Многие небесные явления кажутся верующим людям таинственными и необычными. Часто, увидев на небе комету, они говорят: «Быть беде, не на добро это знамение»; заметив падение метеорита, говорят: «Чья-то душа закатилась». Автор брошюры, сотрудник Московского планетария, в живой и доступной для самого широкого читателя форме рассказывает о действительных причинах этих явлений, о том, что ничего таинственного и сверхъестественного в них нет. На большом конкретном материале автор показывает, что такие небесные явления, как кометы, солнечные и лунные затмения, метеориты, «необыкновенные» дожди, казавшиеся верующим знамениями божьими, в действительности ничего не знаменуют.
В книге рассказывается история главного героя, который сталкивается с различными проблемами и препятствиями на протяжении всего своего путешествия. По пути он встречает множество второстепенных персонажей, которые играют важные роли в истории. Благодаря опыту главного героя книга исследует такие темы, как любовь, потеря, надежда и стойкость. По мере того, как главный герой преодолевает свои трудности, он усваивает ценные уроки жизни и растет как личность.
В книге представлено исследование формирования идеи понятия у Гегеля, его способа мышления, а также идеи "несчастного сознания". Философия Гегеля не может быть сведена к нескольким логическим формулам. Или, скорее, эти формулы скрывают нечто такое, что с самого начала не является чисто логическим. Диалектика, прежде чем быть методом, представляет собой опыт, на основе которого Гегель переходит от одной идеи к другой. Негативность — это само движение разума, посредством которого он всегда выходит за пределы того, чем является.
В Тибетской книге мертвых описана типичная посмертная участь неподготовленного человека, каких среди нас – большинство. Ее цель – помочь нам, объяснить, каким именно образом наши поступки и психические состояния влияют на наше посмертье. Но ценность Тибетской книги мертвых заключается не только в подготовке к смерти. Нет никакой необходимости умирать, чтобы воспользоваться ее советами. Они настолько психологичны и применимы в нашей теперешней жизни, что ими можно и нужно руководствоваться прямо сейчас, не дожидаясь последнего часа.
На основе анализа уникальных средневековых источников известный российский востоковед Александр Игнатенко прослеживает влияние категории Зеркало на становление исламской спекулятивной мысли – философии, теологии, теоретического мистицизма, этики. Эта категория, начавшая формироваться в Коране и хадисах (исламском Предании) и находившаяся в постоянной динамике, стала системообразующей для ислама – определявшей не только то или иное решение конкретных философских и теологических проблем, но и общее направление и конечные результаты эволюции спекулятивной мысли в культуре, в которой действовало табу на изображение живых одухотворенных существ.
Книга посвящена жизни и творчеству М. В. Ломоносова (1711—1765), выдающегося русского ученого, естествоиспытателя, основоположника физической химии, философа, историка, поэта. Основное внимание автор уделяет философским взглядам ученого, его материалистической «корпускулярной философии».Для широкого круга читателей.
В монографии на материале оригинальных текстов исследуется онтологическая семантика поэтического слова французского поэта-символиста Артюра Рембо (1854–1891). Философский анализ произведений А. Рембо осуществляется на основе подстрочных переводов, фиксирующих лексико-грамматическое ядро оригинала.Работа представляет теоретический интерес для философов, филологов, искусствоведов. Может быть использована как материал спецкурса и спецпрактикума для студентов.
В монографии раскрыты научные и философские основания ноосферного прорыва России в свое будущее в XXI веке. Позитивная футурология предполагает концепцию ноосферной стратегии развития России, которая позволит ей избежать экологической гибели и позиционировать ноосферную модель избавления человечества от исчезновения в XXI веке. Книга адресована широкому кругу интеллектуальных читателей, небезразличных к судьбам России, человеческого разума и человечества. Основная идейная линия произведения восходит к учению В.И.
14 декабря 1900 года впервые прозвучало слово «квант». Макс Планк, произнесший его, проявил осторожность: это только рабочая гипотеза. Однако прошло не так много времени, и Эйнштейн с завидной смелостью заявил: квант — это реальность! Но становление квантовой механики не было спокойно триумфальным. Здесь как никогда прежде драма идей тесно сплеталась с драмой людей, создававших новую физику. Об этом и рассказывается в научно–художественной книге, написанной автором таких известных произведений о науке, как «Неизбежность странного мира», «Резерфорд», «Нильс Бор».
Идея, которой поклонялись алхимики, пренебрегая насмешками и гонениями, пробилась сквозь века: физикам XX века удалось осуществить превращение одних элементов в другие.Об истории развития знаний о строении вещества от античности до наших дней увлекательно рассказывается в этой научно-популярной книге.
Научно-художественная книга о становлении — через трудности и поражения — теории, объясняющей современный облик Земли горизонтальным перемещением (раздвижением) крупных плит земной коры, сопровождавшимся излиянием базальтовых масс, образованием складчатых гор и океанических впадин. Значительное место в книге отведено описанию жизни и научной деятельности Альфреда Вегенера — автора гипотезы дрейфа материков.
История познания человеком электричества полна неожиданностей и драматизма. Среди «делавших» эту историю мы найдем людей разных профессий: физика, врача, переплетчика, столяра, государственного деятеля. Различны были их судьбы.В книге читатель встретится с участниками первых кругосветных путешествий, узнает об электрических рыбах, об оживлении людей с помощью электричества… Первое и второе издания книги, вышли в издательстве «Знание» в 1970 и 1978 гг.Книга рассчитана на массового читателя.