По следам бесконечности - [19]

Кантор смело отбросил ставший уже чем-то традиционным страх математиков перед операциями с бесконечностью. Он свел понятие бесконечности к понятию бесконечных множеств и первым планомерно и последовательно занялся изучением их свойств.

Таким образом, основным объектом исследования в новой теории стало множество — совокупность объектов, отвечающих определенному условию, объединенных некоторым общим признаком.

«Под многообразием или множеством, — писал Кантор, — я понимаю вообще всякое многое, которое можно мыслить как единое, т. с. всякую совокупность определенных элементов, которая может быть связана в одно целое, с помощью некоторого закона».

Скажем, множество четных чисел можно, по Кантору, определить так: это совокупность всех целых чисел, которые без остатка делятся на два.

Подобным же способом можно образовать и другие множества, как конечные, так и бесконечные, состоящие из тех или иных объектов. Например, множество всех людей, владеющих французским языком, или множество всех звезд с поверхностной температурой выше 6 тысяч градусов, или множество всех окружностей, обладающих общим центром.

Пожалуй, ни до Кантора, ни после него никто из математиков не брался с такой смелостью за проблему бесконечности и не вкладывал столько сил в ее решение.

«Я отлично знаю, что рассматриваемая мною тема, — писал Кантор, — была во все времена объектом самых различных мнений и толкований. Что ни математики, ни философы не пришли здесь к полному согласию. Поэтому я очень далек от мысли, что я могу сказать последнее слово в столь трудном, сложном и всеобъемлющем вопросе, как проблема бесконечности. Но так как многолетние занятия этой проблемой привели меня к определенным убеждениям и так как в дальнейшем ходе моих работ эти последние не поколебались, но лишь укрепились, то я счел своей обязанностью систематизировать их и опубликовать».

Кантор отлично понимал, что речь идет о расширении ряда целых чисел за бесконечное, то есть об операции совершенно необычной с точки зрения привычных математических и тем более обыденных житейских представлений.

— Я нисколько не скрываю от себя, — говорил Кантор своим друзьям, — что, решаясь на это, я вступаю в конфликт с широко распространенными взглядами на математическую бесконечность.

Речь шла о взглядах, укоренившихся еще со времен Аристотеля, то есть об отношении к математической бесконечности как к бесконечности, становящейся потенциальной, которая может стать меньше или больше любой заданной величины, но которая в то же время сама всегда остается величиной конечной.

Даже великий Гаусс считал, что конечный человек не отважится рассматривать бесконечное как нечто данное и доступное его привычной интуиции.

«…Прежде всего я протестую против пользования бесконечной величиной в качестве законченной, каковое пользование в математике никогда не дозволяется — писал он в одном из своих писем. — Бесконечное является лишь facon de parber (способ выражения), между тем как речь идет собственно о пределах, к которым известные отношения приближаются довольно близко, тогда как другим предоставляется возрастать без ограничения».

— Говоря о «конечности рассудка», — возражал по этому поводу Георг Кантор, — молчаливо предполагают, что его способность образования чисел ограничивается только конечными числами. Но если окажется, что рассудок в состоянии также в известном смысле определять и отличать друг от друга бесконечные числа, то придется приписать человеческому рассудку предикат «бесконечный», что, по моему мнению, единственно правильно. Как ни ограничена человеческая природа, к ней все-таки прилипло очень много от бесконечного.

Если говорить совершенно строго, то потенциальная бесконечность абсолютно непригодна для решения практических задач. Ведь потенциальная бесконечность — это «вечно незавершенный процесс».

Другими словами, одно дело осуществимость потенциальной бесконечности в теории и совсем другое на практике. Воспользуемся современным примером из области теоретической кибернетики. С точки зрения этой науки осуществим любой алгоритм, даже если он требует бесконечного числа шагов. Но реальная электронно-вычислительная машина не в силах решить подобную задачу. Такой расчет лежит за пределами ее возможностей — ведь она обладает всего лишь конечной памятью и способна осуществить хотя и очень большое, но конечное число операций.

Впрочем, математики находили выход из положения: совсем не обязательно достигать бесконечности: на каком-то шаге можно остановиться и вести все расчеты с определенной степенью точности, достаточной, чтобы решение имело практический смысл. Скажем, при вычислении числа π то есть отношения длины окружности к ее поперечнику, вовсе не обязательно находить бесконечное число знаков после занятой. Вполне можно ограничиться, например, пятью знаками — не сотнями и не десятками знаков, а пятью или даже четырьмя. Для практических математических операций этого вполне достаточно.

— Потенциальная бесконечность, — признавал и Георг Кантор, — оказалась весьма хорошим и в высшей степени ценным оружием и в математике и в естествознании.