Объективное знание. Эволюционный подход - [22]
Содержания иногда логически сравнимы, а иногда нет; они образуют частично упорядоченную систему — упорядоченную отношением включения, точно так же как высказывания образуют систему, частично упорядоченную отношением следования (entailment). Абсолютные содержания А и В сравнимы, если А ⊂ В или В ⊂ А. Для относительных содержаний условия сравнимости сложнее.
Если X есть финитно аксиоматизируемое содержание, или дедуктивная система, то существует высказывание x такое, что X есть содержание x.
Таким образом, если Y — финитно аксиоматизируемо, мы сможем написать:
x, Y= x, у.
В этом случае можно видеть, что х, Y равно абсолютному содержанию конъюнкции х.y минус абсолютное содержание y.
Аналогичные соображения показывают, что а, Bи с, D будут сравнимы, если
(А + В)- В сравнимо с (С + D) - D,
где есть сложение дедуктивных систем по Тарскому: если обе аксиоматизируемы, А + D есть содержание конъюнкции а.Ь.
Таким образом, сравнимость будет достаточно редкой в этой частично упорядоченной системе. Однако есть способ показать, что эта частично упорядоченная система может быть «в принципе» — то есть без противоречия — линейно упорядочена. Этим способом является применение формальной теории вероятностей. (Я утверждаю здесь только ее применимость к аксиоматизируемым системам, но не исключено, что ее можно расширить и на неаксиоматизируемые системы; см. также главу 9).
Мы можем написать 'p(x, Y)' или
P(X,Y)
(читается как «вероятность х при условии Y ») и применить формальную систему аксиом для относительной вероятности, которую я изложил в других местах (например, в моей L. Sc. D., Новые приложения *iv и *v[52]) . В результате p(x,Y) будет числом от 0 до 1 — обычно мы не имеем представления о том, каким именно числом — и мы можем утверждать в самом общем виде, что
р(а, В) и р(c, D) в принципе совместимы.
И хотя мы обычно не имеем в нашем распоряжении достаточной информации для решения вопроса о том, имеет ли место
р(а, В)⩽ р(с, D)или p(а, В) ⩾p(с, D),
мы можем утверждать, что по крайней мере одно из этих отношений должно иметь место.
В результате всего этого мы можем сказать, что истинностные содержания и ложностные содержания могут быть в принципе сравнимы с помощью исчисления вероятностей.
Как я неоднократно показывал, содержание А высказывания а будет тем больше, чем меньше логическая вероятность р(а)или р(А).Потому что чем больше информации несет высказывание, тем меньше будет логическая вероятность того, что оно (как бы случайно) истинно. Поэтому мы можем ввести некоторую «меру» содержания (ее можно использовать в основном топологически, то есть как показатель линейного порядка):
сt(а),
или (абсолютное) содержание а, а также относительные меры
ct(a, b)и ct(a, В),
то есть относительное содержание а при условии, соответственно, b или В.(Если В аксиоматизируемо, то мы, конечно, сразу же получаем ct(a,b) = ct(a,В).) Эти «меры (measures)* ct можно задать с помощью исчисления вероятностей, то есть с помощью определения
сt(а, В)= 1 - р(а, В).
Теперь в нашем распоряжении есть средства для определения (мер) истинностного содержания ct>T(a)и ложностного содержания ct>F(a):
ct>T(a) = ct(A>T),
где A>T,как и раньше, есть пересечение А и системы, в смысле Тарского, всех истинных высказываний; и
ct>F(a) = ct(a, A>T))
то есть ложностное содержание (его мера) есть относительное содержание (его мера) а при данном А>T— истинностном содержании а. Другими словами, это есть степень, в которой а выходит за пределы тех высказываний, которые (а) следуют из а и (b) истинны.
8. Замечания о правдоподобности
С помощью сформулированных в предшествующем разделе идей мы можем теперь четче разъяснить то, что мы интуитивно понимаем под правдоподобностью (verisimilitude). Говоря интуитивно, теория Т>1менее правдоподобна, чем теория Т>2, если и только если (а) их истинностные содержания и их ложностные содержания (или их меры) сравнимы, и либо (b) истинностное содержание, но не ложностное содержание, у Т>1меньше, чем соответствующее содержание либо (с) истинностное содержание Т>1не больше, чем истинностное содержание Т>2, но ложностное содержание у нее больше. Короче, мы говорим, что T>2 ближе к истине, или больше похожа на истину, чем Т>1, если и только если из нее следует больше истинных высказываний, но не больше ложных высказываний, или по крайней мере столько же истинных высказываний, но меньше ложных.
В общем виде мы можем сказать, что только конкурирующие теории — такие как теории гравитации Ньютона и Эйнштейна — интуитивно сравнимы с точки зрения их (неизмеренного) содержания. Вместе с тем существуют и конкурирующие теории, не сравнимые друг с другом.
