Математика. Утрата определенности. - [15]
Теория Птолемея дала первое полное, в разумных пределах, подтверждение постоянства и неизменности природы и была воспринята как окончательное решение поставленной Платоном проблемы объяснения видимых движений небесных тел. Никакой другой из полученных в греческую эпоху результатов не может соперничать с «Альмагестом» по глубине влияния на представления о Вселенной, и ни одно сочинение, за исключением «Начал» Евклида, не обрело столь беспрекословного авторитета.
Разумеется, в нашем кратком очерке греческой астрономии не названы многие другие достижения античных астрономов и не дано полного представления о глубине и размахе свершений тех, кого мы здесь упомянули. Греческая астрономия достигла высокого уровня развития и наглядности и весьма широко применяла математику. Кроме того, почти каждый греческий математик, в том числе и такие мастера, как Евклид и Архимед, занимался астрономией.
Постижение физических истин не закончилось на геометрии пространства и астрономии. Греки заложили также основы механики. Механика изучает движение тел, которые можно рассматривать как материальные точки, движение протяженных тел и силы, вызывающие эти движения. В своей «Физике» ([6], т. 3, с. 59-262) Аристотель свел воедино все высшие достижения греческой механики. Как и вся аристотелева физика, его механика опирается на рациональные самоочевидные принципы, согласующиеся с наблюдениями. Хотя эта теория сохранила влияние на протяжении почти двух тысячелетий, мы не останавливаемся на ее изложении, так как она была полностью вытеснена механикой Ньютона. Существенными дополнениями к аристотелевой теории движения стали работы Архимеда по определению центров тяжести тел и его теория рычага. Во всей этой деятельности для нас наиболее существенна ведущая роль математики; тем самым получило подтверждение всеобщее убеждение в том, что в постижении законов природы первостепенное значение имеет математика.
Не меньший интерес, чем астрономия и механика, вызвала оптика. Основы этой науки также были заложены греками. Почти все греческие философы, начиная с пифагорейцев, строили умозрительные заключения о природе света, зрения и цвета, но нас интересуют математические достижения в этой области. Первым было априорное утверждение Эмпедокла (около 490 г. до н.э.) из Агригента — города на острове Сицилия — о том, что свет распространяется с конечной скоростью. Хронологически первыми систематическими исследованиями света, сохранившимися до нашего времени, стали сочинения Евклида «Оптика» и «Катоптрика»{12}. В «Оптике» Евклид рассматривает проблемы зрения и использования зрения для определения размеров различных предметов. В «Катоптрике» (теории зеркал) показано, как ведут себя лучи света при отражении от плоских, выпуклых и вогнутых зеркал и как ход лучей сказывается на том, что мы видим. Как и «Оптика», «Катоптрика» начинается с определений, которые в действительности являются постулатами. Теорема I (аксиома в современных учебниках и монографиях), играющая основополагающую роль в геометрической оптике известна как закон отражения. Она утверждает, что угол α образуемый с поверхностью зеркала лучом света, падающим на зеркало из точки P, равен углу, образуемому с поверхностью зеркала отраженным лучом (рис. 1.6). Евклид также установил закон падения для луча, падающего на выпуклое и вогнутое зеркала: в точке касания Евклид заменил зеркало касательной плоскостью R (рис 1.7) «Оптика» и «Катоптрика» — сочинения математические не только по содержанию, но и по своей структуре. Основное место в них, как и в «Началах» Евклида, отводится определениям, аксиомам и теоремам.
Рис. 1.6. Отражение от плоского зеркала.
Рис. 1.7. Отражение от выпуклого зеркала.
Математик и инженер Герон (I в.) вывел из закона отражения важное следствие. Если P и Q на рис. 1.6 — любые две точки, расположенные по одну сторону от прямой ST, то из всех путей, ведущих из точки P к прямой ST, a затем к точке Q, кратчайший соответствует такому положению точки R, при котором отрезки прямых PR и QR образуют с прямой ST равные углы. Следовательно, луч света, идущий из точки P к зеркалу и затем к точке Q, распространяется по кратчайшему пути. Отсюда ясно, что природа весьма «сведуща» в геометрии и использует ее с наибольшей пользой. Теорема, которую мы только что воспроизвели, заимствована нами из «Катоптрики» Герона, где рассмотрено также отражение луча света от вогнутых и выпуклых зеркал, а также от комбинаций зеркал.
Об отражении света от зеркал различной формы было написано великое множество работ. Среди ныне безвозвратно утерянных сочинений — «Катоптрика» Архимеда, «О зажигательном зеркале» Аполлония (около 190 г. до н.э.) и «О зажигательных зеркалах» Диоклеса (около 190 г. до н.э.). Зажигательные зеркала были вогнутыми и имели форму сферического сегмента параболоида вращения (поверхности, образованной вращением параболы вокруг ее оси) и эллипсоидов вращения. Аполлонию было известно, а в книге Диоклеса содержалось доказательство, что параболическое зеркало, отражая свет от источника света, помещенного в его фокусе, собирает лучи в пучок, параллельный оси зеркала (рис. 1.8). Наоборот, если пучок падающих лучей направить параллельно оси параболического зеркала, то после отражения лучи соберутся в фокусе. Собранные в фокусе солнечные лучи вызывают резкий разогрев и способны зажечь помещенный в фокусе горючий материал, откуда и название — зажигательное зеркало. По преданию, Архимед, воспользовавшись этим свойством зажигательных зеркал, сконцентрировал солнечные лучи на римских судах, блокировавших с моря его родной город Сиракузы, и поджег неприятельский флот. Аполлонию были известны отражательные свойства и других конических сечений. Он знал, например, что все лучи, выходящие из одного фокуса эллиптического зеркала, после отражения собираются в другом фокусе. В книге III «Конических сечений» приведены соответствующие геометрические свойства эллипса и гиперболы.
