Математика и искусство - [130]
Но на древнерусском искусстве увлечение Раушенбаха живописью, точнее математикой живописи, не закончилось. Не только древние черные доски, но и яркие полотна мастеров XIX и XX веков таили в себе немало геометрических загадок. В какой перспективе творили Сезанн и Ван Гог, Поленов и Верещагин, Серов и Бенуа? Пока ясно было только одно: отнюдь не в ренессансной. Но тогда в какой? И снова вопросы, вопросы, вопросы.
Из этих вопросов и родилась общая теория перспективы. Новая теория учитывала не только законы геометрической оптики, по которым видит глаз, но и закономерности работы мозга при зрительном восприятии. Последние закономерности невозможно выразить на языке геометрии с помощью проектирования прямыми или искривленными лучами зрения, поэтому новая теория перспективы носит аналитический характер.
Переход к аналитическим методам математического описания вообще отражает процесс более глубокого проникновения математики в ту или иную область знания. В данном случае этот переход означает качественно новое математичекое описание механизма зрительного восприятия. В отличие от ренессансной системы в общей теории перспективы образа точки трехмерного пространства на картинной плоскости находится не путем геометрических построений, а путем вычислений.
Конечно, геометрические построена для художника более удобны и вряд ли найдется художник, который будет расчитывать пространство своей картин! Но теория и создавалась не для этог Новая теория позволила решить задач принципиально недоступную для рене сансной: количественно оценить отклонние полученного изображения от естесвенного зрительного восприятия и на основании этих количественных оценс дать качественное заключение о xapaктере допускаемых искажений (уточнит где преобладают ошибки: в передаче мен штаба изображения, либо в передаче глубины пространства, либо в подобии избражения). А уже на основании эти качественных оценок можно дать прость и удобные геометрические приемы пстроения перспективных изображений.
Мы не будем в самом конце книг утомлять читателя математическими выкладками общей теории перспективы которые к тому же отнюдь не элементарны и требуют знания дифференциального и интегрального исчисления. Остановимся на выводах и геометрически следствиях, которые вытекают из это теории.
Общая теория перспективы — это тория перцептивного изображения, в основе которой лежат обсуждавшиеся свойства перцептивного пространства. Системы перспективы, построенные на базе oбщей теории перспективы, будем назвать научными системами перспективы. Главный вывод, к которому приходит Б. В. Раушенбах, таков: не существует идеальной научной системы перспективы. Существует бесчисленное множество равноправных систем перспективы, каждая из которых содержит свои неизбежные ошибки изображения. Все системы отличаются друг от друга тем, на какие элементы изображения смещены эти ошибки, что и может в зависимости от художественных задач служить критерием выбора той или иной системы перспективы.
Этот вывод является частным случаем более общего математического факта: невозможно взаимнооднозначно и непрерывно отобразить трехмерное пространство на двумерную плоскость. Хотя на первый взгляд это кажется и странным, но взаимнооднозначное отображение пространства на плоскость возможно. Образно говоря, можно "истолочь" пространство на бесконечно малые точки и рассыпать эти точки бесконечно тонким слоем нa. плоскости. Однако при этом безвозвратно нарушается строение пространства, близкие элементы пространства не перейдут в близкие элементы плоскости, т. е. отображение не будет непрерывным. Разумеется, подобные отображения для изобразительных целей неприемлемы, ибo изобразительное искусство прежде всегo интересует именно форма. Рассмотренные нами способы проецирования пространства на плоскость (ортогональные проекции, аксонометрия, центральные проекции), равно как и научные системы перспективы, являются своеобразным компромиссом между взаимнооднозначностью и непрерывностью отображения пространства на плоскость. Аналогичное противоречие между "содержанием" (взаимнооднозначность) и "формой" (непрерывность) отображения приходится разрешать, например, в картографии при отображении сферы Земли на плоскость карты. Эта задача также не имеет "идеального" решения.
Проанализировав различные варианты научных систем перспективы, Раушенбах пришел к своеобразному "закону сохранения искажений в изобразительном искусстве". Суть этого закона, который наиболее ярко проявляется при изображении интерьера, т. е. не слишком протяженного пространства, заключается в том, что суммарная ошибка при передаче изображения для любой системы перспективы оказывается практически одной и той же. До обнаружения этого неожиданного факта казалось, что научная система перспективы должна носить абсолютный характер, так как она исходит из объективных законов природы (законов работы глаза и мозга). А оказалось, что научных систем перспективы сколь угодно много и все они с точки зрения математики (по суммарной ошибке искажений) равноценны. Поэтому проблема выбора подходящего варианта научной перспективы становится проблемой эстетической. Вот что по этому поводу пишет Раушенбах: "Эстетика "вторглась", казалось бы, в строго математическую область с неожиданной стороны... Именно эстетические соображения отбирают из бесчисленного множества предлагаемых математических вариантов тот, который является наиболее подходящим для решаемой художественной задачи".
В книге развита теория квантового оптоэлектронного генератора (ОЭГ). Предложена модель ОЭГ на базе полуклассических уравнений лазера. При анализе доказано, что главным источником шума в ОЭГ является спонтанный шум лазера, обусловленный квантовой природой. Приводятся схемы и экспериментальные результаты исследования малошумящего ОЭГ, предназначенного для применения в различных областях военно-космической сферы.
Произведения Э. Эбботта и Д. Бюргера едины по своей тематике. Авторы в увлекательной форме с неизменным юмором вводят читателя в русло важных геометрических идей, таких, как размерность, связность, кривизна, демонстрируя абстрактные объекты в различных «житейских» ситуациях. Книга дополнена научно-популярными статьями о четвертом измерении. Ее с интересом и пользой прочтут все любители занимательной математики.
Любую задачу можно решить разными способами, однако в учебниках чаще всего предлагают только один вариант решения. Настоящее умение заключается не в том, чтобы из раза в раз использовать стандартный метод, а в том, чтобы находить наиболее подходящий, пусть даже и необычный, способ решения.В этой книге рассказывается о десяти различных стратегиях решения задач. Каждая глава начинается с описания конкретной стратегии и того, как ее можно использовать в бытовых ситуациях, а затем приводятся примеры применения такой стратегии в математике.
Давид Гильберт намеревался привести математику из методологического хаоса, в который она погрузилась в конце XIX века, к порядку посредством аксиомы, обосновавшей ее непротиворечиво и полно. В итоге этот эпохальный проект провалился, но сама попытка навсегда изменила облик всей дисциплины. Чтобы избавить математику от противоречий, сделать ее «идеальной», Гильберт исследовал ее вдоль и поперек, даже углубился в физику, чтобы предоставить квантовой механике структуру, названную позже его именем, — гильбертово пространство.
Саймон Сингх рассказывает о самых интересных эпизодах мультсериала, в которых фигурируют важнейшие математические идеи – от числа π и бесконечности до происхождения чисел и самых сложных проблем, над которыми работают современные математики.Книга будет интересна поклонникам сериала «Симпсоны» и всем, кто увлекается математикой.На русском языке публикуется впервые.
На протяжении многих веков симметрия оставалась ключевым понятием для художников, архитекторов и музыкантов, однако в XX веке ее глубинный смысл оценили также физики и математики. Именно симметрия сегодня лежит в основе таких фундаментальных физических и космологических теорий, как теория относительности, квантовая механика и теория струн. Начиная с древнего Вавилона и заканчивая самыми передовыми рубежами современной науки Иэн Стюарт, британский математик с мировым именем, прослеживает пути изучения симметрии и открытия ее основополагающих законов.