Математические головоломки и развлечения - [125]
Одну из главных причин всех затруднений Гоббса понять нетрудно. Он никак не мог привыкнуть к мысли о том, что точки, линии и поверхности можно рассматривать абстрактно как геометрические объекты, размерность которых меньше трех. «По-видимому, он так и ушел в могилу, — пишет в книге «Ссоры авторов» Исаак Дизраэли, — с твердым убеждением, что поверхности обладают и глубиной и толщиной, несмотря на все возражения геометров, выслушанные им при жизни». Гоббс являет собой классический пример человека выдающихся способностей, вступившего в область науки, для которой он плохо подготовлен, и растратившего всю энергию на решение пустых псевдонаучных вопросов.
Хотя невозможность решения задачи о квадратуре круга строго доказана, задача о квадратуре фигур, ограниченных дугами окружности, часто бывает вполне разрешимой. Именно это обстоятельство все еще пробуждает ложные надежды у «квадратурщиков».
Рис. 212Титульный лист одной из книг Гоббса, содержащей «решение» задачи о квадратуре круга.
Интересный пример такой квадрируемой фигуры показан на рис. 213.
Рис. 213Скольким квадратным единицам равна площадь этой фигуры?
Контур нижней части этой вазы образован дугой в 3/4 окружности радиусом 10 см. Верхняя половина ограничена тремя четвертушками той же окружности. Как быстро сможет читатель назвать с точностью до последнего десятичного знака длину стороны квадрата, имеющего площадь, равную площади этой фигуры?
Близкими родственниками «квадратурщиков» были вычислители π — те, кто порой затрачивал целые годы для того, чтобы вручную найти новые знаки в десятичном разложении π, оставив позади все ранее проведенные вычисления. Для этого использовали бесконечные ряды или произведения, сходящиеся к π. Одно из простейших выражений для π открыл Валлис:
В числителях дробей по два раза повторяются последовательные четные числа. (Отметим случайное сходство между первыми пятью знаменателями и цифрами в рациональном приближении числа π, открытом китайским астрономом!) Несколько десятилетий спустя великий Лейбниц открыл другую изящную формулу:
Самым неутомимым вычислителем π был английский математик Уильям Шенкс. Более 20 лет жизни он посвятил вычислению 707 знаков числа π. К сожалению, несчастный Шенкс ошибся в пятьсот двадцатом знаке, и все последующие цифры в полученном им выражении неверны. (Ошибку обнаружили лишь в 1945 году, поэтому семисотсемизначное разложение Шенкса и поныне еще можно встретить во многих книгах.) В 1949 году электронно-вычислительная машина «ЭНИАК», проработав в течение 70 часов, вычислила более 2000 знаков числа π. Позднее с помощью компьютера, проработавшего всего лишь 13 минут, были вычислены 3000 знаков π. В 1959 году один компьютер в Англии и другой во Франции вычислили 10000 десятичных знаков π.
Самое странное в найденных Шенксом 707 знаках π состоит в том, что эти знаки «свысока» смотрят на цифру 7: если каждая из остальных цифр, как и должно быть, встречается среди первых 700 знаков около 70 раз, то семерка появляется лишь 51 раз. «Если бы все циклометристы и апокалипсисты объединили свой разум, — писал де Морган, — и до тех пор, пока они не придут к единому мнению относительно причин этого явления, не печатали бы ни единой строки, то они заслужили бы признательность всего человечества». Спешу добавить, что после того, как все 707 первых знаков π были вычислены верно, недостающие семерки заняли подобающее им место и справедливость была восстановлена. Математики-интуиционисты придерживаются того мнения, что утверждение об «истинности или ложности» любого высказывания лишено смысла, если вы не можете подтвердить или опровергнуть это высказывание, и всегда приводят пример такого высказывания: «В десятичном разложении числа π встречаются три семерки подряд». Ныне мы с полной уверенностью можем утверждать, что высказывание «В десятичном разложении числа 7Г встречаются подряд пять семерок» истинно. Среди недавно полученных десятичных знаков для π были обнаружены не только однократно повторяющиеся тройки всех цифр от 0 до 9, но и несколько групп из 4-х семерок (и совершенно неожиданная очередь из 6-ти девяток).
До сих пор π благополучно выдерживало все статистические испытания на случайность. Это кажется непонятным тем, кто полагает, что у столь простой и изящной кривой, как окружность, должно бы быть менее дикое отношение между «обхватом» и поперечником, но большинство математиков твердо уверены в том, что среди цифр десятичного разложения π никогда не будет обнаружено никакого порядка. Разумеется, эти числа не случайны в том смысле, что они определяют число π, но в этом же смысле не случаен и миллион «случайных» цифр в таблицах так называемых «случайных чисел». Они также представляют некоторое число, к тому же целое.
Если верно, что цифры в десятичном разложении π случайны, то мы, по-видимому, с полным основанием можем сформулировать парадокс, в какой-то мере аналогичный парадоксу со стадом обезьян, которые, просидев достаточно долго за пишущими машинками, смогут напечатать все пьесы Шекспира. Стифен Барр заметил, что если не ставить пределом точности измерения длины стержней, то с помощью двух стержней, не делая на них никаких зарубок или меток, можно в принципе передать содержание всей «Британской энциклопедии». В самом деле, длина одного стержня принимается за единицу (эталон) длины. Длина другого выбирается так, чтобы она отличалась от единичной на величину, выражающуюся очень длинной десятичной дробью. Цифрами десятичной дроби закодирован текст «Британской энциклопедии»: различным числам (в десятичной записи которых нет нуля) сопоставлены слова и знаки пунктуации, встречающиеся во всех томах энциклопедии от «А» до «Z»; нуль использован для разделения кодовых чисел. Ясно, что таким образом всю «Британскую энциклопедию» можно закодировать одним, хотя и невероятно длинным числом. Поставив перед этим числом запятую и приписав слева единицу, мы получим длину второго стержня Барра.
