Математические головоломки и развлечения - [122]

В 1727 году английский физиолог Стифен Хейлз описал в своей книге «Статистика растений» один опыт: насыпав в горшок зеленых горошин, он подверг их сжатию и получил «весьма правильные додекаэдры». Этот опыт получил название «горошин Бюффона» (потому что несколько позднее такой же опыт описал Бюффон).

У большинства биологов он не вызывал никаких сомнений до тех пор, пока Эдвин Б. Мацке, ботаник из Колумбийского университета, не повторил его. Из-за неправильной формы, неодинаковых размеров, неоднородной плотности и случайного расположения насыпанных в контейнер горошин их форма после сжатия оказалась настолько случайной, что ее трудно было отнести к какому-нибудь определенному типу многогранников. В 1939 году появилось сообщение о новых экспериментах Мацке: он сжал свинцовую дробь и обнаружил, что при кубической упаковке дробинок образуются ромбические додекаэдры, а при случайной упаковке преобладают четырнадцатигранники неправильной формы. Мацке указал, что полученные им результаты имеют важное значение для исследования таких структур, как пена или живые клетки в недифференцированных тканях.

Задача о плотнейшей упаковке наводит на мысль о прямо противоположном вопросе: какую упаковку можно назвать редчайшей, то есть при каком расположении шаров в пространстве достигается минимум плотности? Чтобы вся структура была жесткой, каждый шар должен касаться по крайней мере четырех остальных, а точки касания не должны лежать в одном полушарии или на одном экваторе. В книге «Наглядная геометрия» Д. Гильберта и С. Кон-Фоссена[62] описана упаковка, которую в то время считали редчайшей. Ее плотность составляла 0,123. Однако уже в следующем году голландские математики Г. Хееш и Ф. Лейвз сообщили подробности более редкой упаковки с плотностью всего лишь 0,0555 (рис. 209).

Рис. 209Редкая упаковка Хееша и Лейвза. Большие шары сначала располагают так, как показано на левом рисунке, а затем каждый из больших шаров заменяют тремя маленькими. Результат показан на рисунке справа. Плотность такой упаковки составляет всего лишь 0,0555.

Существует ли еще более редкая упаковка? Вот еще один интересный вопрос, который так же, как и вопрос о плотнейшей упаковке, пока еще остается нерешенным.

* * *

Единственность ответа (4900 ядер) в задаче о числе шаров, которые можно уложить и в виде квадрата, и в виде четырехугольной пирамиды, была доказана Г. Н. Уотсоном A918). Предположение о единственности ответа высказал еще в 1875 году французский математик Эдуард Люка. Аналогичное предположение можно найти у Г. Дьюдени A917).

Числам, которые одновременно являются и треугольными и квадратными, посвящена обширная литература. Известна формула для n-го квадратно-треугольного числа:

Вопрос о плотнейшей решетчатой упаковке шаров решен для всех пространств, размерность которых не превышает восьми.[63] В трехмерном пространстве ответ на вопрос дают описанные нами кубическая и гексагональная упаковки с плотностью 0,74… При переходе к девятимерному пространству, как замечает К. Рейд в своей книге «Введение в высшую математику» A959), задача претерпевает одно из тех неожиданных загадочных превращений, которые столь часто встречаются в геометрии многомерных евклидовых пространств. Насколько мне известно, задача о плотнейшей упаковке гиперсфер в девятимерном пространстве никем еще не решена. Девятимерное пространство служит поворотным пунктом и в тесно связанной с проблемой упаковки задаче о числе одинаковых сфер, касающихся одной и той же сферы того же радиуса. Лишь в 1953 году К. Шютте и Б. Л. Ван-дер-Варден впервые доказали, что для трехмерного пространства ответ равен 12.[64] Более позднее доказательство можно найти в статье Дж. Лича «Задача о тринадцати сферах».[65] Соответствующая задача на плоскости имеет очевидный ответ: 6 (ровно столько одинаковых монет — но не больше! — могут касаться одной и той же монеты). Если прямую рассматривать как «вырожденную сферу», то ответ для одномерного пространства равен 2. Для четырехмерного пространства доказано, что 24 гиперсферы могут касаться одной и той же двадцать пятой гиперсферы, а для пространств размерности 5, 6, 7 и 8 максимальное число гиперсфер равно соответственно 40, 72, 126 и 240. Для девятимерного пространства задача остается нерешенной.

Ответы

Наименьшее число апельсинов, из которых можно сложить либо две пирамиды (тетраэдра) неодинаковых размеров, либо одну большую пирамиду-тетраэдр, равно 680. Это тетраэдрическое число можно представить в виде суммы двух меньших тетраэдрических чисел: 120 и 560. Вдоль ребер пирамид можно уложить 8, 14 и 15 апельсинов.

В квадратную коробку с основанием 10 см² и высотой 5 см стальные шарики диаметром 1 см можно плотно уложить многими способами, и в зависимости от способа укладки коробка будет вмещать различное число шаров. Максимальная емкость — 594 шарика — достигается следующим образом. Перевернув коробку на бок, нужно уложить первый слой шариков. Первый ряд должен состоять из 5, второй — из 4, третий — снова из 5, четвертый — снова из 4 и т. д. шариков. Всего получится одиннадцать рядов (шесть рядов по пяти шариков в каждом и пять рядов по четыре шарика в каждом).