Математические головоломки и развлечения - [120]

Ответы

Можно ли, играя в реверси, выиграть партию за десять ходов, превратив все фишки противника в фишки своего цвета? Да, можно. В журнальном варианте этой главы я указал решение, которое мне казалось самым коротким из всех возможных в реверси партий (нечто, аналогичное вечному шаху в обычных шахматах): первый игрок одерживает победу на восьмом ходу. (Описание партии я нашел в одной из старых книг по реверсии.) Но двум читателям удалось придумать еще более короткие решения.

Д. Г. Переграйн прислал следующую партию в шесть ходов:

I игрок — II игрок

28 — 29

36 — 37

38 — 45

54 — 35

34 — 27

20

Немногим отличается от нее решение, найденное П. Петерсеном:

I игрок — II игрок

36 — 28

37 — 29

21 — 30

39 — 44

35 — 45

53

Глава 40. УПАКОВКА ШАРОВ

Шары одинаковых размеров можно складывать в пирамиды и располагать в пространстве множеством самых различных способов.

Возникающие при этом конфигурации шаров, или, как еще принято говорить, укладки и упаковки, обладают многими любопытнейшими свойствами. Этим и объясняется тот интерес, который питает к подобного рода задачам занимательная математика. Изучать свойства упаковок и расположение шаров лучше всего на моделях.

Изготовив набор из 30 шаров, читатель намного облегчит себе понимание того, о чем мы расскажем в этой главе. Лучше всего взять 30 теннисных мячей. Мячи можно покрыть тонким слоем резинового клея и, высушив, складывать из них великолепные модели тех упаковок, о которых сейчас пойдет речь.

Для начала совершим небольшой экскурс в двумерные задачи аналогичного содержания. Если шары разложить на столе в виде квадрата (рис. 205, справа), то число шаров будет одним из так называемых «квадратных» чисел. Если же шары разложить в виде треугольника (см. рис. 205, слева), то число шаров будет одним из «треугольных» чисел. И квадратные и треугольные числа служат простейшими примерами того, что в древности было принято называть «фигурными числами». В старину их изучением занимались многие математики (знаменитый трактат о фигурных числах написал Паскаль), и хотя в наше время им уделяют мало внимания, они позволяют интуитивно понять многие аспекты элементарной теории чисел.

Достаточно, например, одного лишь взгляда на левую часть рис. 205, чтобы понять, что сумма любого числа целых положительных слагаемых, начинающихся с единицы, равна треугольному числу. Взглянув на правую часть рис. 205, мы сразу же заметим, что квадратные числа получаются при сложении последовательных нечетных чисел, начинающихся с 1.

Рис. 205Происхождение треугольных (слева) и квадратных (справа) чисел.

Рис. 206 позволяет сразу же понять интересную теорему, известную еще пифагорейцам: всякое квадратное число есть сумма двух последовательных треугольных чисел. Алгебраическое доказательство этой теоремы просто.

Рис. 206Связь между квадратными и треугольными числами.

Треугольное число, выражающее количество шаров, уложенных на плоскости в виде треугольника со стороной из п шаров, равно сумме 1 + 2 + 3 +.. + n, которую можно представить в виде 0.5n(n + 1).

Предыдущее треугольное число дается формулой 0.5n(n-1). Сложив оба выражения и вычеркнув члены с противоположными знаками, мы получим n2. Существуют ли числа, которые бы в одно и то же время были и квадратными и треугольными? Оказывается, существуют, причем их бесконечно много. Наименьшее из таких чисел (если не считать единицы, которая входит в любую последовательность фигурных чисел) равно 36, затем идут 1225, 41616, 1413721, 48 024 900… Вывести формулу для n-го члена этой последовательности довольно трудно.

Трехмерные аналоги плоских фигурных чисел возникают при укладке шаров в пирамиды. Правильные треугольные пирамиды, все грани и основание которых имеют вид равносторонних треугольников (такие пирамиды называются тетраэдрами), порождают так называемые тетраэдрические числа. Последовательность этих чисел выглядит так: 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84… Общий член ее выражается формулой 1/6∙n(n + 1)(n + 2), где n — число шаров, уложенных вдоль ребра пирамиды. Четырехугольные пирамиды с квадратом в основании и боковыми гранями в форме равносторонних треугольников (то есть половинки правильного октаэдра) порождают (четырехугольные) пирамидальные числа 1, 5, 14, 30, 55, 91,140…. Общий член этой последовательности дается формулой 1/6∙n(n+1)(2n + 1). Подобно тому как квадрат можно разрезать вдоль прямой на два последовательных треугольника, четырехугольную пирамиду можно рассечь плоскостью на два последовательных тетраэдра. (При построении моделей пирамид, порождающих пирамидальные числа, нужно следить за тем, чтобы шары нижнего слоя не раскатывались в стороны. Их можно удерживать на месте с помощью бортиков из линеек или дощечек.)

Свойства двух названных нами типов пирамидальных чисел легли в основу многих занимательных задач. Предположим, например, что городские власти собираются поставить на одной из площадей города памятник в виде четырехугольной пирамиды, сложенной из пушечных ядер.

Какое наименьшее число ядер нужно взять для того, чтобы их сначала можно было уложить в виде квадрата, а затем — в виде четырехугольной пирамиды, грани которой имеют форму равносторонних треугольников? Самое удивительное в ответе (4900 ядер) — его единственность. Доказательство этой задачи сложно и было получено лишь в 1918 году. Другой пример: продавец фруктов уложил апельсины в виде двух тетраэдров, но потом передумал и уложил их в виде одного большого тетраэдра. Каким должно быть наименьшее число апельсинов для того, чтобы их можно было уложить и в виде двух маленьких, и в виде одного большого тетраэдра? Если оба меньших тетраэдра одинаковы, то ответ единствен: 20 апельсинов. А как обстоит дело, если меньшие тетраэдры неодинаковы по размеру?