Математические головоломки и развлечения - [103]
Единственное, в чем его действительно можно упрекнуть (и за что он уже получил выговор от губернатора), так это то, что он не сумел воспрепятствовать установлению связи между А и С и тем самым не помешал С более точно оценить вероятность остаться в живых. Но и этот промах тюремщика не повлек за собой тяжких последствий, поскольку С не сумел должным образом воспользоваться полученной информацией.
Если вы публично не отречетесь от своих слов и не принесете извинений, мы будем вынуждены прекратить подписку на ваш журнал.
Глава 35. ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА
В настоящее время во всем цивилизованном мире принята десятичная система записи чисел, основанная на использовании последовательных степеней числа 10. Самая правая цифра любого числа указывает, сколько в нем содержится единиц, то есть 10>0. Вторая от конца цифра указывает количество десятков, то есть 10>1; третья — число сотен, то есть 10>2, и т. д. Например, 777 в десятичной системе означает сумму (7 10>0) + (7 10>1) + (7 10>2). Столь широкое распространение числа 10 в качестве основания системы счисления объясняется тем, что у нас на руках десять пальцев. Не случайно английское слово «digit» имеет два значения: «палец» и «цифра». Если на Марсе обитают человекоподобные существа с двенадцатью пальцами, то можно с уверенностью сказать, что марсианская арифметика использует двенадцатеричную систему счисления с основанием 12.
Простейшей из всех числовых позиционных систем следует считать двоичную систему счисления с основанием 2. Двоичной системой пользовались при счете некоторые первобытные племена, она была известна еще древнекитайским математикам, но по-настоящему развил и построил двоичную систему великий немецкий математик Лейбниц, видевший в ней олицетворение глубокой метафизической истины. Нуль для Лейбница был символом небытия, пустоты, единица — символом бытия или материи. Он полагал, что и нуль и единица в равной степени необходимы Создателю, ибо вселенная, состоящая из одной лишь чистой материи, была бы неотличима от пустой, ничем не возмущаемой вселенной, которую символизирует 0. По Лейбницу, все в мире сотворено из двух противоположных начал — бытия и небытия, так же как любое число в двоичной системе представлено одними лишь нулями и единицами. Со времен Лейбница и вплоть до недавнего времени двоичную систему считали не более чем занятным курьезом, лишенным какой бы то ни было практической ценности. Но вот появились вычислительные машины. Многие их детали работают по принципу «да-нет»: ток либо течет по проводнику, либо не течет; переключатель находится либо в положении «включено», либо в положении «выключено»; полюс магнита может быть либо северным, либо южным, ячейка памяти находится только в одном из двух состояний. Это и позволяет конструировать компьютеры, способные с огромной быстротой и точностью перерабатывать входные данные, закодированные в двоичной системе. «Увы! — пишет известный голландский математик Т. Данциг в своей книге «Число — язык науки», то, что некогда возвышалось как монумент монотеизму, очутилось во чреве робота».
Во многих математических играх также используется двоичная система. Назовем хотя бы игру в ним (см. главу 14), такие механические головоломки, как Ханойская башня и кардановы кольца, а также бесчисленные фокусы с перфокартами. В этой главе мы расскажем лишь об известном наборе специальных карт, позволяющих «читать мысли», и тесно связанном с ним наборе перфокарт, пользуясь которыми вы сможете показать несколько замечательных «двоичных» фокусов.
Принцип карт, позволяющих «читать мысли», ясен из приведенной выше таблицы. В ее левой части выписаны двоичные числа от 0 до 31. Каждая цифра двоичного числа — это коэффициент при некоторой степени двойки. Самая правая цифра означает коэффициент при 2>0, или 1. Затем справа налево идут коэффициенты при 2>1 (или 2), 2>2, 2>3 и т. д. Степени двойки указаны над каждым столбцом. Чтобы перевести двоичное число в десятичное, нужно просто сложить те степени двойки, которые встречаются с единичным коэффициентом. Так, двоичное число 10101 означает 16+4+1, или 21.
Чтобы десятичное число 21 перевести в двоичную систему, нужно проделать обратную процедуру. Поделив 21 на 2, мы получим 10 и 1 в остатке. Этот остаток и будет самой правой цифрой двоичного числа. Поделив 10 на 2, мы не получим остатка, поэтому на втором месте справа следует написать 0. Затем нужно поделить 5 на 2 и продолжать в том же духе до тех пор, пока не получим двоичное число 10101. Самая левая («старшая») цифра числа получается так: 2 входит в 1 нуль раз, а остаток равен 1.
Таблицу двоичных чисел легко превратить в набор карт для угадывания мыслей: нужно заменить каждую единичку тем десятичным числом, в двоичной записи которого она встречается. Результат такой подстановки показан в правой части таблицы. Каждый столбец чисел выписывается на отдельной карточке.
Дайте кому-нибудь все пять карт, попросите задумать любое из чисел от 0 до 31 и вернуть вам те карточки, на которых встречается выбранное число. Получив карточки, вы сразу же можете назвать задуманное число: чтобы узнать его, нужно лишь сложить самые верхние числа на возвращенных вам карточках.
