Магия математики: Как найти x и зачем это нужно - [62]

по часовой стрелке на B градусов, мы получим конгруэнтный ему треугольник P'OQ', в котором Q' будет располагаться на оси x в координатах (1, 0).

Так как ∠P'OQ' = A – B, P' = (cos (A – B), sin (A – B)). Согласно формуле расстояния для P'Q' будет верно следующее:

c² = (cos (A – B) – 1)² + (sin (A – B) – 0)² = cos² (A – B) – 2 cos (A – B) + 1 + sin² (A – B) = 2 – 2 cos (A – B)

Из этого можно заключить, что c² = 2 – 2 cos (A – B), при этом нам не нужны ни теорема косинусов, ни предположение об угле A – B. Ну а дальнейшее доказательство можно скопировать с предыдущего.

Обратите внимание, что при A = 90° формула для cos (A – B) утверждает следующее:

cos (90° – B ) = cos 90° cos B + sin 90° sin B = sin B

Происходит это на том основании, что cos 90° = 0, а sin 90° = 1. Если в этом уравнении заменить B на 90° – B, получим

cos B = cos 90° cos (90° – B ) + sin 90° sin (90° – B ) = sin (90° – B )

Мы уже доказали правдивость этих утверждений на примере B как острого угла. Однако алгебра позволяет нам пойти дальше и подтвердить их для любого значения B. Так, если заменить B на – B, мы придем к

cos ( A + B ) = cos A cos (– B ) + sin A sin (– B ) = cos A cos B – sin A sin B

так как cos (–B) = cos B, а sin (–B) = –sin B. Если предположить, что B = A, у нас получится формула функций двойного угла:

cos (2 A ) = cos² A – sin² A

А так как cos² A = 1 – sin² A и sin² A = 1 – cos² A, мы также можем утверждать, что

cos (2 A ) = 1 – 2 sin² A и cos (2 A ) = 2 cos² A – 1

Из этого тождества косинусов проистекает аналогичное тождество синусов, например,

sin ( A + B ) = cos (90 – ( A + B ) = cos ((90 – A ) – B ) = cos (90 – A ) cos B + sin (90 – A ) sin B = sin A cos B + cos A sin B

B = A приводит нас к формуле функций двойного угла для синусов –

sin (2 A ) = 2 sin A cos A

а замена B на – B – к

sin ( A – B ) = sin A cos B – cos A sin B

Давайте соберем в одну таблицу все тождества, которые мы успели вывести в этой главе:

Повторюсь: использовать буквы A и B вы не обязаны, сгодятся и любые другие (скажем, cos (2u) = cos²u – sin²u или sin (2θ) = 2 sin θ cos θ).

Радианы и графики в тригонометрии

До сих пор нам встречались углы, значения которых находились исключительно в диапазоне от 0 до 360 градусов. Но пристальный взгляд на единичную окружность невольно заставляет усомниться в обоснованности выбора числа 360. Сделан он был давным-давно, еще в древнем Вавилоне, где в обиходе была шестидесятеричная система счисления, использовавшаяся в том числе и в календаре (да-да, число 360 подозрительно напоминает количество дней в году). Альтернатива была предложена много позже, в XIX веке, когда в математике – а затем и в других науках – появилось понятие радиана, представляющего собой

2π рад = 360°

или, другими словами,

Для тауистов, почитающих число t как 2π,

В числовом же выражении 1 радиан примерно равен 57°.

Но зачем они нужны, спросите вы. И чем вдруг научному сообществу так не угодили привычные всем градусы?

В круге с радиусом r угол в 2π радианов охватывает длину окружности 2πr. Если взять часть этого большого угла, величина дуги, отделяемой этой частью, будет в 2πr раз больше получившейся дроби. Если говорить конкретнее, то 1 радиан «захватывает» дугу длиной 2πr(1/2π) = r, а m радианов – дугу длиной mr. В единичной окружности значение угла в радианах равно длине соответствующей ему дуги. Разве не удобно?

А вот единичный круг, поделенный на самые «популярные» углы – значения выражены как в градусах, так и в радианах.

Для сравнения – версия с t вместо π.

На рисунках, кстати, очень хорошо заметно, насколько t удобнее π. Для угла 90° (занимающего четверть окружности) представление в радианах выглядит как t/4; для угла 120° (треть окружности) – как t/3; для угла 60° (одна шестая окружности) – как t/6; t же есть, по сути, один полный оборот, то есть угол 360°.

Как нам еще предстоит убедиться, радианы позволяют значительно упростить формулы и уравнения подсчета тригонометрических функций. Формулы синуса и косинуса, например, можно превратить в «бесконечные ряды многочленов»:

sin x = x – x >2 /3! + x >5 /5! – x >7 /7! + x >9 /9! –…

cos x =1 – x >2 /2! + x >4 /4! – x >6 /6! + x >8 /8! –…

но только если x измеряется в радианах. Или при исчислении, например, мы увидим, что cos x есть производная функция sin x при том же условии. Так же и графики тригонометрических функций y = sin x и y = cos x строятся обычно на основании радианного представления x.

Графики эти будут повторяться с шагом 2π (тауисты, на старт!). Происходит это из-за того, что как синус, так и косинус берут свои начала в окружности, а угол x + 2π по своей природе ничем не отличается от угла x. Именно поэтому эти функции называются периодическими, а шаг 2π – периодом синуса и косинуса. Кстати, если сдвинуть график косинуса вправо на π/2, он точь-в-точь совпадет с графиком синуса, потому что значение π/2 в радианах соответствует углу 90°. Из всего этого следует, что

sin x = cos (π/2 – x ) = cos ( x – π/2)

(например, sin 0 = 0 = cos (–π/2), а sin π/2 = 1 = cos 0).

Тангенс, равный, как мы помним, sin x/cos x, так и останется неопределенным при cos x = 0 (что происходит всякий раз, когда линия графика проходит ровно посередине двух значений, кратных числу π). Значит, период тангенса равен π.